Considere uma esfera de raio R e carga Q, distribuida uniformemente pelo seu volume. Obtenha que o vetor potencial e o campo magnético para pontos externos à esfera são
Ae x t & =mu0 Q R^220 pi r^3 w times r Be x t & =mu0 Q R^220 pi r^3[3(w cdot r)r^2 r-w]
Mostre que para os pontos internos:
Ai n t & =3 mu0 Q8 pi R^3(R^23-r^55) w times r Bi n t & =mu0 Q20 pi R^3[3(w cdot r) r+(5 R^2-6 r^2) w]
Mostre também que o momento de dipolo magnético é
m=15 Q R^2 w

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera de raio R e carga total Q, distribuída uniformemente no volume, que gira com velocidade angular w. Isso gera uma densidade de corrente
J(r')=rho,v(r') =rho,l(wtimesr'r), rho=Qtfrac4pi3R^3
Já nos dão o potencial vetorial e o campo magnético para r>R. Nosso objetivo é obter, para r<R,
Arm int(r), Brm int(r),
e também mostrar que o momento de dipolo magnético vale
m=15,Q,R^2,w
O principal instrumento será a fórmula de magnetostática
A(r) =mu04piintegralVJ(r')lvertr-r'rvert,d^3r'
e a definição
m =12integralVr'timesJ(r'),d^3r'

Passo 2

Para
mas, como . Assim
Em ambos os integrais aparece a forma , cuja parte isotrópica é
]

Passo 3

Fazendo as contas vetoriais e usando
wtimesr' e as integrals acima para ( r'<r) até r e ( r'>r) de r até R, obtém-se após simplificar
Arm int(r) =3mu0Q8pi R^3 l(R^23-r^25r) ;wtimesr
Este é exatamente o resultado pedido (note que a combinação de fatores numéricos vem da diferença entre os dois pedaços de integral).

Passo 4

Agora calculamos
Brm int=nablatimesArm int. Usando a identidade
nablatimesl[f(r),(wtimesr)r] =f'(r),r^2,w-(wcdotr),rr +2,f(r),w,
com
f(r)=3mu0Q8pi R^3 l(R^23-r^25r),
obtemos após simplificação algébrica
Brm int(r) =mu0Q20pi R^3 l[,3(wcdotr),r +l(5R^2-6r^2r)wr],
que coincide com o enunciado.

Passo 5

Finalmente, o momento de dipolo magnético é definido por
m =12integralVr'timesJ(r'),d^3r' =rho2integralVr'times(wtimesr'),d^3r'
Usando a expressão vetorial
r'times(wtimesr')= (r'cdotr'),w- (wcdotr'),r'
e as integrais isotrópicas para r'^2 e r'ir'j, chega-se a
m =Q,R^25,w

Resposta

boxed Arm int(r)& =3,mu0,Q8pi,R^3 l(tfracR^23-tfracr^25r), wtimesr, Brm int(r)& =mu0,Q20pi,R^3 l[,3(wcdotr),r +l(5R^2-6r^2r)wr], m&=tfrac15,Q,R^2,w

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