Considere uma esfera de raio
e carga
, distribuida uniformemente pelo seu volume. Obtenha que o vetor potencial e o campo magnético para pontos externos à esfera são
Mostre que para os pontos internos:
Mostre também que o momento de dipolo magnético é
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera de raio
e carga total
, distribuída uniformemente no volume, que gira com velocidade angular
. Isso gera uma densidade de corrente
Já nos dão o potencial vetorial e o campo magnético para
. Nosso objetivo é obter, para
,
e também mostrar que o momento de dipolo magnético vale
O principal instrumento será a fórmula de magnetostática
e a definição
Passo 2
Para
mas, como . Assim
Em ambos os integrais aparece a forma
, cuja parte isotrópica é
Passo 3
Fazendo as contas vetoriais e usando
e as integrals acima para (
) até
e (
) de
até
, obtém-se após simplificar
Este é exatamente o resultado pedido (note que a combinação de fatores numéricos vem da diferença entre os dois pedaços de integral).
Passo 4
Agora calculamos
. Usando a identidade
com
obtemos após simplificação algébrica
que coincide com o enunciado.
Passo 5
Finalmente, o momento de dipolo magnético é definido por
Usando a expressão vetorial
e as integrais isotrópicas para e
, chega-se a
e as integrais isotrópicas para