Um cilindro de raio R e altura h possui magnetização M dada por
M=(a+b z^2) k
orientado ao longo do eixo de simmetria, sendo (a, b) parâmetros constantes. O centro do cilindro está na origem do sistema de eixos coordenados:
  • Obtenha o momento magnético do cilindro.
  • Obtenha a densidade superficial e volumétrica de carga efetiva de magnetização.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de raio R e altura h centrado na origem, com magnetização
M=(a+b,z^2),k
Pede-se (1) o momento magnético total do cilindro e (2) as densidades superficial e volumétrica de “carga magnética” ligada. Vamos usar a definição
m=integralVM,dV,
e as fórmulas das cargas ligadas
rhom=-nabla!cdotM, sigmam=Mcdotn

Passo 2

Para achar o momento magnético calculamos
m =integralVM,dV =k integral-h/2^h/2!!integral0^2pi!!integral0^R(a+b,z^2),rho,drho,dphi,dz
Integramos primeiro em rho,phi:
integral0^2pi!!integral0^Rrho,drho,dphi =2piR^22 =pi R^2
Sobrou
mz =pi R^2integral-h/2^h/2(a+b,z^2),dz =pi R^2l[a,h+bintegral-h/2^h/2z^2dzr]
E
integral-h/2^h/2z^2dz =2integral0^h/2z^2dz =2(h/2)^33 =h^312
Logo
m =pi R^2l(a,h+b,h^312r)k

Passo 3

A densidade volumétrica de carga magnética ligada é
rhom=-nabla!cdotM =-partialpartial z(a+b,z^2) =-2,b,z

Passo 4

A densidade superficial de carga magnética ligada em cada face é
sigmam=Mcdotn
– Face lateral ( hat n=hatrho): como Mparal<=lhat kperphatrho,
sigmam^rm lat=0
– Face superior ( z=+h/2,;hat n=+hat k):
sigmaml(z=+h/2r) =a+bl(tfrach2r)^2 =a+b,h^24
– Face inferior ( z=-h/2,;hat n=-hat k):
sigmaml(z=-h/2r) =-(a+bl(tfrach2r)^2) =-l(a+b,h^24r)

Resposta

m =pi R^2l(a,h+b,h^312r)k,
rhom(z)=-2,b,z,
sigmam^rm lat=0, sigmaml(z=+h/2r)=a+b,h^24, sigmaml(z=-h/2r)=-l(a+b,h^24r)

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