Considere uma esfera de raio
carregada eletricamente com uma distribuição superficial de
cargas constante igual a
. Determine o vetor campo elétrico
dentro e fora desta esfera.
cargas constante igual a
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor campo elétrico
dentro e fora de uma esfera de raio
que tem uma distribuição superficial de cargas constante igual a
.
Dados e informações relevantes que recebemos (e que vou usar):
vou assumir que a esfera é centrada na origem (isto é uma escolha natural para explorar a simetria);
a carga total da superfície é
a carga total da superfície é
As perguntas a responder são duas: (i) qual é
para pontos com
(dentro da esfera), e (ii) qual é
para pontos com
(fora da esfera).
Passo 2
Observação sobre simetria (explicação didática): a distribuição de carga é a mesma em toda a superfície esférica (uniforme). Se você girar a esfera em torno de seu centro, a distribuição de cargas não muda. Isso implica que o campo elétrico só pode depender da distância radial
ao centro e deve apontar na direção radial (não há direção privilegiada tangencial). Portanto buscamos um campo da forma
onde
é o versor radial e
é um número que depende só de
. Essa ideia de usar a simetria para reduzir a forma do campo é muito útil na prova: sempre que a distribuição for esférica, o campo será radial e isotrópico.
Passo 3
Ferramenta principal que vamos usar (explicação didática): a lei de Gauss no vácuo. Ela relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total contida nessa superfície. A forma integral da lei de Gauss é
onde:
-
é a superfície fechada que limita o volume ; -
é o elemento de área vetorial (tem direção normal para fora); -
é a carga elétrica total contida dentro de ; -
é a permissividade do vácuo.
Explicação: escolha uma superfície gaussiana compatível com a simetria facilita muito as contas. Aqui, por simetria esférica, escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raiocentrada na origem.
Passo 4
Caso 1: ponto interno, isto é
.
- A superfície gaussiana (esfera de raio
) não contém nenhuma carga, porque toda a carga está estritamente sobre a superfície e fica dentro dessa esfera sem incluir a superfície onde as cargas estão. Portanto
- Aplicando a lei de Gauss:
- Como
e sobre a superfície esférica, o produto escalar é . O fluxo total é então vezes a área da esfera gaussiana:
- Assim obtemos
Conclusão: o campo elétrico dentro da cavidade interior é o vetor nulo:
Comentário físico didático: isso significa que uma casca esférica carregada uniformemente não cria campo no interior — é um resultado clássico e muito usado.
Passo 5
Caso 2: ponto externo, isto é
.
- Agora a superfície gaussiana (esfera de raio
) envolve toda a superfície carregada da esfera original; portanto a carga total contida é a carga total da casca:
- Aplicando a lei de Gauss:
- Pelo mesmo raciocínio que antes, o fluxo é
. Logo
- Cancelando
e isolando , obtemos
- Em forma vetorial, lembrando que o campo é radial (para fora se
, para dentro se ):
Comentário didático: essa expressão tem a mesma dependência em
de uma carga pontual
localizada no centro, e de fato a casca esférica comporta-se, fora dela, como se toda a carga estivesse concentrada no centro com
.
Passo 6
Verificação de contorno (pequena aula extra): a componente normal do campo elétrico tem salto através de uma camada superficial carregada, dado por
onde
é a densidade superficial de carga. Aqui
,
e em
a magnitude de
é
logo o salto é
, consistente com a condição de contorno. Isso é uma boa checagem para provas: verifique continuidade/discontinuidade no contorno com a densidade superficial.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha
e
. Para
,
Basta substituir
para obter um valor numérico se precisar. Isso mostra como aplicar a fórmula na prática.