Considere uma esfera de raio R_{0} carregada eletricamente com uma distribuição superficial de
cargas constante igual a \rho_{\mathrm{s}}. Determine o vetor campo elétrico \mathbf{E} dentro e fora desta esfera.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor campo elétrico \mathbf{E} dentro e fora de uma esfera de raio \,R_{0}\, que tem uma distribuição superficial de cargas constante igual a \,\rho_{\mathrm{s}}\,.
Dados e informações relevantes que recebemos (e que vou usar):
\text{esfera de raio }\,R_{0};
\text{carga superficial uniforme (constante) }\,\rho_{\mathrm{s}}\text{ sobre }r=R_{0};
vou assumir que a esfera é centrada na origem (isto é uma escolha natural para explorar a simetria);
a carga total da superfície é
Q=\rho_{\mathrm{s}}\cdot 4\pi R_{0}^{2}.
As perguntas a responder são duas: (i) qual é \mathbf{E} para pontos com r<R_{0} (dentro da esfera), e (ii) qual é \mathbf{E} para pontos com r>R_{0} (fora da esfera).

Passo 2

Observação sobre simetria (explicação didática): a distribuição de carga é a mesma em toda a superfície esférica (uniforme). Se você girar a esfera em torno de seu centro, a distribuição de cargas não muda. Isso implica que o campo elétrico só pode depender da distância radial r ao centro e deve apontar na direção radial (não há direção privilegiada tangencial). Portanto buscamos um campo da forma
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = E(r)\,\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}} é o versor radial e E(r) é um número que depende só de r. Essa ideia de usar a simetria para reduzir a forma do campo é muito útil na prova: sempre que a distribuição for esférica, o campo será radial e isotrópico.

Passo 3

Ferramenta principal que vamos usar (explicação didática): a lei de Gauss no vácuo. Ela relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total contida nessa superfície. A forma integral da lei de Gauss é
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \partial V é a superfície fechada que limita o volume V;
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial (tem direção normal para fora);
  • Q_{\text{int}} é a carga elétrica total contida dentro de \partial V;
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
    Explicação: escolha uma superfície gaussiana compatível com a simetria facilita muito as contas. Aqui, por simetria esférica, escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio r centrada na origem.

Passo 4

Caso 1: ponto interno, isto é r<R_{0}.
  • A superfície gaussiana (esfera de raio r) não contém nenhuma carga, porque toda a carga está estritamente sobre a superfície r=R_{0} e r<R_{0} fica dentro dessa esfera sem incluir a superfície onde as cargas estão. Portanto
Q_{\text{int}}=0.
  • Aplicando a lei de Gauss:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
  • Como \mathbf{E}=E(r)\hat{\mathbf{r}} e d\mathbf{A}=\hat{\mathbf{r}}\,dA sobre a superfície esférica, o produto escalar é \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,dA. O fluxo total é então E(r) vezes a área da esfera gaussiana:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=0.
  • Assim obtemos
E(r)=0\quad\text{para }r<R_{0}.
Conclusão: o campo elétrico dentro da cavidade interior é o vetor nulo:
\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad\text{para }r<R_{0}.
Comentário físico didático: isso significa que uma casca esférica carregada uniformemente não cria campo no interior — é um resultado clássico e muito usado.

Passo 5

Caso 2: ponto externo, isto é r>R_{0}.
  • Agora a superfície gaussiana (esfera de raio r) envolve toda a superfície carregada da esfera original; portanto a carga total contida é a carga total da casca:
Q_{\text{int}}=Q=\rho_{\mathrm{s}}\cdot 4\pi R_{0}^{2}.
  • Aplicando a lei de Gauss:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
  • Pelo mesmo raciocínio que antes, o fluxo é E(r)\cdot 4\pi r^{2}. Logo
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{\rho_{\mathrm{s}}\cdot 4\pi R_{0}^{2}}{\varepsilon_{0}}.
  • Cancelando 4\pi e isolando E(r), obtemos
E(r)=\frac{\rho_{\mathrm{s}}\,R_{0}^{2}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\quad\text{para }r>R_{0}.
  • Em forma vetorial, lembrando que o campo é radial (para fora se \rho_{\mathrm{s}}>0, para dentro se \rho_{\mathrm{s}}<0):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho_{\mathrm{s}}\,R_{0}^{2}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad\text{para }r>R_{0}.
Comentário didático: essa expressão tem a mesma dependência em 1/r^{2} de uma carga pontual Q localizada no centro, e de fato a casca esférica comporta-se, fora dela, como se toda a carga estivesse concentrada no centro com Q=\rho_{\mathrm{s}}4\pi R_{0}^{2}.

Passo 6

Verificação de contorno (pequena aula extra): a componente normal do campo elétrico tem salto através de uma camada superficial carregada, dado por
\mathbf{E}_{\text{out}}\cdot\hat{\mathbf{n}}-\mathbf{E}_{\text{in}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}},
onde \sigma é a densidade superficial de carga. Aqui \sigma=\rho_{\mathrm{s}}, \mathbf{E}_{\text{in}}=\mathbf{0} e em r=R_{0} a magnitude de \mathbf{E}_{\text{out}} é
E_{\text{out}}(R_{0})=\frac{\rho_{\mathrm{s}}\,R_{0}^{2}}{\varepsilon_{0}\,R_{0}^{2}}=\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{\varepsilon_{0}},
logo o salto é \rho_{\mathrm{s}}/\varepsilon_{0}, consistente com a condição de contorno. Isso é uma boa checagem para provas: verifique continuidade/discontinuidade no contorno com a densidade superficial.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha \,R_{0}=1\,\text{m} e \rho_{\mathrm{s}}=1{,}0\times 10^{-6}\,\text{C/m}^{2}. Para r=2\,\text{m},
E(2)=\frac{1{,}0\times 10^{-6}\cdot 1^{2}}{\varepsilon_{0}\cdot 2^{2}}=\frac{1{,}0\times 10^{-6}}{4\varepsilon_{0}}.
Basta substituir \varepsilon_{0}\approx 8{,}85\times 10^{-12}\,\text{F/m} para obter um valor numérico se precisar. Isso mostra como aplicar a fórmula na prática.

Resposta

\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad\text{para }r<R_{0}.\n \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho_{\mathrm{s}}\,R_{0}^{2}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad\text{para }r>R_{0}.

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