Efetue os dois lados do teorema da divergência para o campo \boldsymbol{F}=\left(4 x-x^{2}\right) \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{x}}-3 y^{2} z^{2} \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{y}}- \left(2 x^{3} z^{2}-z\right) \hat{\mathrm{a}}_{z} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, na região 0 \leq \mathrm{x} \leq 1 ; 0 \leq \mathrm{y} \leq 1 e 0 \leq z \leq 1 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede para “efetuar os dois lados do teorema da divergência” para o campo dado na região cúbica 0\le x\le1, 0\le y\le1, 0\le z\le1 (unidades em metros). Ou seja, devemos calcular:
  1. O integral de volume do divergente de \boldsymbol{F}:
\iiint_{V} (\nabla\cdot\boldsymbol{F})\,dV.
  1. O fluxo de \boldsymbol{F} através da superfície fechada \partial V (a superfície do cubo) com norma externa:
\iint_{\partial V} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\boldsymbol{F}=\bigl(4x-x^{2}\bigr)\,\hat{\mathrm{a}}_{x}-3y^{2}z^{2}\,\hat{\mathrm{a}}_{y}-\bigl(2x^{3}z^{2}-z\bigr)\,\hat{\mathrm{a}}_{z}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2},
região V:\\\ 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1,\\\ 0\le z\le1.
Observação: eu peguei os termos do campo diretamente do enunciado acima.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial em coordenadas cartesianas: para \boldsymbol{F}=F_x\,\hat{\mathrm{a}}_{x}+F_y\,\hat{\mathrm{a}}_{y}+F_z\,\hat{\mathrm{a}}_{z},
\nabla\cdot\boldsymbol{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui F_x, F_y, F_z são as componentes escalares do campo e \partial/\partial x significa derivada parcial em relação a x (tratando y e z como constantes), e analogamente para as demais.
Aplicando isso ao nosso campo:
F_x=4x-x^2,\qquad F_y=-3y^2 z^2,\qquad F_z=-(2x^3 z^2 - z) = -2x^3 z^2 + z.

Passo 3

Calculemos cada derivada parcial:
  1. \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{d}{dx}(4x-x^2)=4-2x.
    Explicação rápida: derivada de 4x é 4, derivada de -x^2 é -2x.
  2. \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-3y^2 z^2)=-6y z^2.
    Aqui z é tratado como constante, então -3z^2 é constante multiplicando y^2; derivada de y^2 é 2y.
  3. \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-2x^3 z^2 + z)=-4x^3 z +1.
    Explicação: para -2x^3 z^2, x é constante então derivada em z é -2x^3\cdot 2z = -4x^3 z; para +z, derivada é 1.
Somando:
\nabla\cdot\boldsymbol{F}=(4-2x)+(-6y z^2)+(-4x^3 z+1).
Agrupando termos semelhantes:
\nabla\cdot\boldsymbol{F}=5-2x-6y z^2-4x^3 z.

Passo 4

Agora avaliamos o integral de volume:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{F})\,dV =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(5-2x-6y z^2-4x^3 z\bigr)\,dx\,dy\,dz.
Explicação: o domínio é um cubo unitário, então os limites são 0 a 1 para cada variável. Como a integral é sobre um somatório de termos, podemos integrar termo a termo.
Calculemos termo a termo (cada termo é produto de funções unidimensionais ou constante, facilitando a separação):
  1. Para 5:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}5\,dx\,dy\,dz = 5\cdot(1)\cdot(1)\cdot(1)=5.
Porque integral de uma constante sobre volume unitário é constante vezes volume =5\cdot1.
  1. Para -2x:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(-2x)\,dx\,dy\,dz = -2\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)\cdot1\cdot1 =-2\cdot\frac{1}{2}=-1.
  1. Para -6y z^2:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(-6y z^2)\,dx\,dy\,dz =-6\left(\int_{0}^{1}dx\right)\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)\left(\int_{0}^{1}z^2\,dz\right).
Calculando cada integral: \int_{0}^{1}dx=1, \int_{0}^{1}y\,dy=\tfrac{1}{2}, \int_{0}^{1}z^2\,dz=\tfrac{1}{3}. Então
-6\cdot 1\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3}=-6\cdot\tfrac{1}{6}=-1.
  1. Para -4x^3 z:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(-4x^3 z)\,dx\,dy\,dz =-4\left(\int_{0}^{1}x^3\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}dy\right)\left(\int_{0}^{1}z\,dz\right).
Aqui \int_{0}^{1}x^3\,dx=\tfrac{1}{4}, \int_{0}^{1}dy=1, \int_{0}^{1}z\,dz=\tfrac{1}{2}. Assim
-4\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 1\cdot \tfrac{1}{2}=-4\cdot\tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{2}.
Somando todos os contributos:
5 + (-1) + (-1) + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=5-2-\tfrac{1}{2}=3-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
Portanto o integral de volume (lado do divergente) é \dfrac{5}{2}. Unidade: como \boldsymbol{F} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}, \nabla\cdot\boldsymbol{F} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3} e a integral sobre volume (m^3) dá unidade \mathrm{C}. Logo o valor é \dfrac{5}{2}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Agora vamos calcular o fluxo de \boldsymbol{F} através da superfície fechada do cubo diretamente. O fluxo total é a soma das contribuições das seis faces. Para cada face, \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{F}\cdot\hat{n}\,dS com \hat{n} a normal externa.
As faces e suas normais externas:
  • Face x=1: \hat{n}=+\hat{\mathrm{a}}_{x}.
  • Face x=0: \hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{x}.
  • Face y=1: \hat{n}=+\hat{\mathrm{a}}_{y}.
  • Face y=0: \hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{y}.
  • Face z=1: \hat{n}=+\hat{\mathrm{a}}_{z}.
  • Face z=0: \hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{z}.
Vou calcular cada face separadamente.

Passo 6

Face x=1 (superfície paralela ao plano yz, 0\le y,z\le1):
\boldsymbol{F}\cdot\hat{n}=F_x\big|_{x=1}=4(1)-1^2=3.
Fluxo nesta face:
\iint_{0}^{1}\_{0}^{1} 3\,dy\,dz = 3\cdot 1\cdot 1 = 3.
Face x=0:
F_x\big|_{x=0}=4\cdot 0 -0=0,\quad\hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{x}\Rightarrow \boldsymbol{F}\cdot\hat{n}=-F_x=0.
Fluxo = 0.

Passo 7

Face y=1 (paralela ao plano xz):
\boldsymbol{F}\cdot\hat{n}=F_y\big|_{y=1}=-3(1)^2 z^2=-3z^2.
Fluxo:
\iint_{x=0}^{1}\_{z=0}^{1}(-3z^2)\,dx\,dz = -3\left(\int_{0}^{1}dx\right)\left(\int_{0}^{1}z^2\,dz\right) =-3\cdot 1\cdot \tfrac{1}{3}=-1.
Face y=0:
F_y\big|_{y=0}=0,\quad\hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{y}\Rightarrow \boldsymbol{F}\cdot\hat{n}=0.
Fluxo = 0.

Passo 8

Face z=1 (paralela ao plano xy):
F_z\big|_{z=1}=-2x^3(1)^2 + 1 = -2x^3 +1.
Fluxo:
\iint_{x=0}^{1}\_{y=0}^{1}(-2x^3+1)\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(-2x^3+1\bigr)\left(\int_{0}^{1}dy\right)dx =\int_{0}^{1}(-2x^3+1)\,dx.
Calcule:
\int_{0}^{1}(-2x^3+1)\,dx = -2\cdot \tfrac{1}{4} + 1\cdot 1 = -\tfrac{1}{2} +1 = \tfrac{1}{2}.
Face z=0:
F_z\big|_{z=0}=-2x^3\cdot 0 + 0 =0,\quad\hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{z}\Rightarrow \boldsymbol{F}\cdot\hat{n}=0.
Fluxo = 0.

Passo 9

Somando todas as contribuições das seis faces:
\Phi_{\partial V}= \text{(x=1)} + \text{(x=0)} + \text{(y=1)} + \text{(y=0)} + \text{(z=1)} + \text{(z=0)} = 3 + 0 + (-1) + 0 + \tfrac{1}{2} + 0.
Logo
\Phi_{\partial V}=3-1+\tfrac{1}{2}=2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
Unidade: fluxo é carga ( \mathrm{C}), conforme argumentado antes.

Resposta

\displaystyle \iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{F})\,dV=\dfrac{5}{2}\\ \mathrm{C}
\displaystyle \iint_{\partial V}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=\dfrac{5}{2}\\ \mathrm{C}

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