Efetue os dois lados do teorema da divergência para o campo \boldsymbol{F}=\left(4 x-x^{2}\right) \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{x}}-3 y^{2} z^{2} \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{y}}- \left(2 x^{3} z^{2}-z\right) \hat{\mathrm{a}}_{z} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, na região 0 \leq \mathrm{x} \leq 1 ; 0 \leq \mathrm{y} \leq 1 e 0 \leq z \leq 1 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado pede para “efetuar os dois lados do teorema da divergência” para o campo dado na região cúbica 0\le x\le1, 0\le y\le1, 0\le z\le1 (unidades em metros). Ou seja, devemos calcular:
O integral de volume do divergente de \boldsymbol{F}:
\iiint_{V} (\nabla\cdot\boldsymbol{F})\,dV.
O fluxo de \boldsymbol{F} através da superfície fechada \partial V (a superfície do cubo) com norma externa:
região V:\\\ 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1,\\\ 0\le z\le1.
Observação: eu peguei os termos do campo diretamente do enunciado acima.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial em coordenadas cartesianas: para \boldsymbol{F}=F_x\,\hat{\mathrm{a}}_{x}+F_y\,\hat{\mathrm{a}}_{y}+F_z\,\hat{\mathrm{a}}_{z},
Aqui F_x, F_y, F_z são as componentes escalares do campo e \partial/\partial x significa derivada parcial em relação a x (tratando y e z como constantes), e analogamente para as demais.
\displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{d}{dx}(4x-x^2)=4-2x.
Explicação rápida: derivada de 4x é 4, derivada de -x^2 é -2x.
\displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-3y^2 z^2)=-6y z^2.
Aqui z é tratado como constante, então -3z^2 é constante multiplicando y^2; derivada de y^2 é 2y.
\displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-2x^3 z^2 + z)=-4x^3 z +1.
Explicação: para -2x^3 z^2, x é constante então derivada em z é -2x^3\cdot 2z = -4x^3 z; para +z, derivada é 1.
Explicação: o domínio é um cubo unitário, então os limites são 0 a 1 para cada variável. Como a integral é sobre um somatório de termos, podemos integrar termo a termo.
Calculemos termo a termo (cada termo é produto de funções unidimensionais ou constante, facilitando a separação):
Portanto o integral de volume (lado do divergente) é \dfrac{5}{2}. Unidade: como \boldsymbol{F} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}, \nabla\cdot\boldsymbol{F} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3} e a integral sobre volume (m^3) dá unidade \mathrm{C}. Logo o valor é \dfrac{5}{2}\\ \mathrm{C}.
Passo 5
Agora vamos calcular o fluxo de \boldsymbol{F} através da superfície fechada do cubo diretamente. O fluxo total é a soma das contribuições das seis faces. Para cada face, \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{F}\cdot\hat{n}\,dS com \hat{n} a normal externa.
As faces e suas normais externas:
Face x=1: \hat{n}=+\hat{\mathrm{a}}_{x}.
Face x=0: \hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{x}.
Face y=1: \hat{n}=+\hat{\mathrm{a}}_{y}.
Face y=0: \hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{y}.
Face z=1: \hat{n}=+\hat{\mathrm{a}}_{z}.
Face z=0: \hat{n}=-\hat{\mathrm{a}}_{z}.
Vou calcular cada face separadamente.
Passo 6
Face x=1 (superfície paralela ao plano yz, 0\le y,z\le1):