No interior da esfera r \leq 5 \mathrm{~m}, a densidade de fluxo elétrico é dada por \boldsymbol{D}=4 r^{2} \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{r}} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}.
a) Qual é a densidade volumétrica de cargas para \mathrm{r}=2 m ?
b) Qual é a densidade de fluxo elétrico para \mathrm{r}=2 \mathrm{~m} ?
c) Quantas linhas de fluxo atravessam a esfera em \mathrm{r}= 2 m ?
d) Qual é a carga contida na esfera de \mathrm{r}=2 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico dentro da esfera de raio máximo 5 m como
\mathbf{D}=4\,r^{2}\,\hat{a}_{r}\\ \text{C/m}^{2}\quad\text{para }r\leq 5\\ \text{m}.
As perguntas são:
a) Qual é a densidade volumétrica de cargas para r=2\\ \text{m}?
b) Qual é a densidade de fluxo elétrico para r=2\\ \text{m}?
c) Quantas linhas de fluxo atravessam a esfera em r=2\\ \text{m}? (interpreto como o fluxo total através da superfície esférica de raio 2 m)
d) Qual é a carga contida na esfera de r=2\\ \text{m}?

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicando devagar e sem pressa):
  1. Relação diferencial entre \mathbf{D} e a densidade volumétrica de carga \rho_v:
\rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D}.
Isso significa que a divergência do campo \mathbf{D} em um ponto nos dá a densidade de carga naquele ponto (unidade \text{C/m}^3).
2) Para um campo puramente radial \mathbf{D}=D_r(r)\,\hat a_r (dependendo só de r), a divergência em coordenadas esféricas simplifica para:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_{r}(r)\big).
Aqui D_r(r) é a componente radial do vetor \mathbf{D}. Essa fórmula vem da expressão geral da divergência em coordenadas esféricas, mas para nosso caso as componentes angulares são nulas e não dependem de \theta,\varphi, por isso sobra essa expressão.
3) Fluxo elétrico através de uma superfície S (número de “linhas de fluxo” na linguagem do enunciado) é
\Phi=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}.
Para uma esfera de raio r com \mathbf{D}=D_r(r)\hat a_r, isso vira
\Phi = D_r(r)\cdot 4\pi r^{2},
porque D_r é constante sobre a superfície esférica (depende só de r) e a área da esfera é 4\pi r^2.
4) Lei de Gauss para \mathbf{D}: a carga total contida em um volume V é igual ao fluxo de \mathbf{D} pela superfície que o envolve:
Q_{\text{enc}}=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=\Phi.
Também podemos calcular Q_{\text{enc}} integrando \rho_v em V:
Q_{\text{enc}}=\int_{V}\rho_v\,dV.

Passo 3

Calcular \rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D} passo a passo usando a fórmula para campo radial. Identificamos
D_r(r)=4\,r^{2}.
Compute r^{2}D_r(r):
r^{2}D_r(r)=r^{2}\cdot 4r^{2}=4r^{4}.
Agora derivamos em relação a r:
\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_r(r)\big)=\frac{d}{dr}(4r^{4})=16r^{3}.
Dividimos por r^{2} conforme a fórmula da divergência:
\rho_v(r)=\frac{1}{r^{2}}\cdot 16r^{3}=16r.
Portanto a densidade volumétrica de cargas em qualquer ponto (para r\le 5) é
\rho_v(r)=16r\\ \text{C/m}^{3}.
Agora avaliamos em r=2\\ \text{m}:
\rho_v(2)=16\cdot 2=32\\ \text{C/m}^{3}.

Passo 4

Calcular a densidade de fluxo \mathbf{D} no ponto r=2\\ \text{m}. Substituímos r=2 em
\mathbf{D}=4r^{2}\hat a_r.
Temos
\mathbf{D}(2)=4\cdot (2)^{2}\,\hat a_r=4\cdot 4\,\hat a_r=16\,\hat a_r\\ \text{C/m}^{2}.

Passo 5

Calcular o fluxo total através da esfera de raio r=2 m (quantas linhas de fluxo atravessam):
Usamos a fórmula para esfera:
\Phi = D_r(2)\cdot 4\pi (2)^{2}.
Já sabemos D_r(2)=16. Então
\Phi = 16\cdot 4\pi \cdot 4 =16\cdot 16\pi =256\pi\\ \text{C}.
Interpretação: o fluxo total atravessando a superfície esférica de raio 2 m é \;256\pi coulombs (essa é a quantidade de linhas de fluxo em termos do fluxo elétrico).

Passo 6

Calcular a carga contida na esfera de raio 2 m. Podemos usar Gauss (fluxo = carga) diretamente:
Q_{\text{enc}}=\Phi=256\pi\\ \text{C}.
Como verificação, fazemos a integral volumétrica com \rho_v(r)=16r. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Então
Q_{\text{enc}}=\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} 16r\cdot r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Separando integrais angulares:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
portanto as integrais angulares dão 4\pi. O integral em r é
16\cdot 4\pi \int_{0}^{2} r^{3}\,dr =64\pi\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=64\pi\cdot\frac{16}{4}=64\pi\cdot 4=256\pi.
Resultado igual ao do fluxo, ótimo — confirma que Q_{\text{enc}}=256\pi\\ \text{C}.

Resposta

a) \rho_v(2)=32\\ \text{C/m}^{3}
b) \mathbf{D}(2)=16\,\hat a_r\\ \text{C/m}^{2}
c) Fluxo através da esfera de raio 2\\ \text{m}: \Phi=256\pi\\ \text{C}
d) Carga contida na esfera de raio 2\\ \text{m}: Q_{\text{enc}}=256\pi\\ \text{C}

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