No interior da esfera
, a densidade de fluxo elétrico é dada por
.
a) Qual é a densidade volumétrica de cargas para
m ?
b) Qual é a densidade de fluxo elétrico para
?
c) Quantas linhas de fluxo atravessam a esfera em
2 m ?
d) Qual é a carga contida na esfera de
?
a) Qual é a densidade volumétrica de cargas para
b) Qual é a densidade de fluxo elétrico para
c) Quantas linhas de fluxo atravessam a esfera em
d) Qual é a carga contida na esfera de
Passo 1
O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico dentro da esfera de raio máximo
m como
As perguntas são:
a) Qual é a densidade volumétrica de cargas para ?
b) Qual é a densidade de fluxo elétrico para ?
c) Quantas linhas de fluxo atravessam a esfera em ? (interpreto como o fluxo total através da superfície esférica de raio
m)
d) Qual é a carga contida na esfera de ?
a) Qual é a densidade volumétrica de cargas para
b) Qual é a densidade de fluxo elétrico para
c) Quantas linhas de fluxo atravessam a esfera em
d) Qual é a carga contida na esfera de
Passo 2
Conceitos-chave que vamos usar (explicando devagar e sem pressa):
- Relação diferencial entre
e a densidade volumétrica de carga :
Isso significa que a divergência do campo
em um ponto nos dá a densidade de carga naquele ponto (unidade
).
2) Para um campo puramente radial (dependendo só de
), a divergência em coordenadas esféricas simplifica para:
2) Para um campo puramente radial
Aqui
é a componente radial do vetor
. Essa fórmula vem da expressão geral da divergência em coordenadas esféricas, mas para nosso caso as componentes angulares são nulas e não dependem de
, por isso sobra essa expressão.
3) Fluxo elétrico através de uma superfície (número de “linhas de fluxo” na linguagem do enunciado) é
3) Fluxo elétrico através de uma superfície
Para uma esfera de raio
com
, isso vira
porque
é constante sobre a superfície esférica (depende só de
) e a área da esfera é
.
4) Lei de Gauss para : a carga total contida em um volume
é igual ao fluxo de
pela superfície que o envolve:
4) Lei de Gauss para
Também podemos calcular
integrando
em
:
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a fórmula para campo radial. Identificamos
Compute
:
Agora derivamos em relação a
:
Dividimos por
conforme a fórmula da divergência:
Portanto a densidade volumétrica de cargas em qualquer ponto (para
) é
Agora avaliamos em
:
Passo 4
Calcular a densidade de fluxo
no ponto
. Substituímos
em
Temos
Passo 5
Calcular o fluxo total através da esfera de raio
m (quantas linhas de fluxo atravessam):
Usamos a fórmula para esfera:
Usamos a fórmula para esfera:
Já sabemos
. Então
Interpretação: o fluxo total atravessando a superfície esférica de raio
m é
coulombs (essa é a quantidade de linhas de fluxo em termos do fluxo elétrico).
Passo 6
Calcular a carga contida na esfera de raio
m. Podemos usar Gauss (fluxo = carga) diretamente:
Como verificação, fazemos a integral volumétrica com
. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
. Então
Separando integrais angulares:
portanto as integrais angulares dão
. O integral em
é
Resultado igual ao do fluxo, ótimo — confirma que
.
Resposta
a)
b)
c) Fluxo através da esfera de raio :
d) Carga contida na esfera de raio :
b)
c) Fluxo através da esfera de raio
d) Carga contida na esfera de raio