Considere uma esfera de raio R, composta por um material dielétrico linear e homogêneo com permissividade elétrica \varepsilon_{0}. Uma carga total -Q está uniformemente distribuída no volume da esfera. De acordo com a Lei de Gauss, é correto afirmar que:
(A) E=\frac{-Q r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \mathrm{f} para \mathrm{r}<\mathrm{Re} E=\frac{-Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \mathrm{f} para \mathrm{r} \geq \mathrm{R}
(B) E=\frac{-Q r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} A para \mathrm{r}<\mathrm{R} e E=0 para \mathrm{r} \geq \mathrm{R}
(C) E=0 para \mathrm{r}<\mathrm{Re} E=\frac{-Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \mathrm{f} para \mathrm{r} \geq \mathrm{R}
(D) E=\frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} f para \mathrm{r}<\mathrm{Re} E=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} f para \mathrm{r} \geq \mathrm{R}

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera de raio R com carga total -Q distribuída uniformemente no seu volume. Queremos o campo elétrico \mathbf{E}(r) em função da distância r ao centro usando a Lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Primeiro determinamos a densidade volumétrica de carga \rho. Como o volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi R^{3}, fica
\rho \;=\;\frac{-Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}} \;=\;-\,\frac{3Q}{4\pi R^{3}}.

Passo 3

Para r<R tomamos uma superfície gaussiana esférica de raio r. A carga interna é
Q_{\text{enc}} =\rho \;\times\;\frac{4}{3}\pi r^{3} =-\,\frac{3Q}{4\pi R^{3}}\;\frac{4}{3}\pi r^{3} =-\,Q\,\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Pela Lei de Gauss,
E(r)\;4\pi r^{2} =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{-\,Q\,r^{3}/R^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} =-\,\frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}.
Portanto, em forma vetorial (com \mathbf{f} como vetor radial unitário para fora),
\mathbf{E}(r) =-\,\frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\;\mathbf{f}, \quad r<R.

Passo 4

Para r\ge R, toda a carga -Q está incluída, logo
Q_{\text{enc}}=-Q \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}},
e em vetor
\mathbf{E}(r) =-\,\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\;\mathbf{f}, \quad r\ge R.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o campo obtido dentro e fora da esfera coincide com a opção (A).

Resposta

(A) E=-\dfrac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\mathbf{f} para r<R e E=-\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathbf{f} para r\ge R.

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