Considere o espaço euclideano \mathbb{R}^{3}. Verifique que
\beta=\left\{\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{3}. Use os coeficientes de fourier para determinar [w]_{\beta}, sendo w=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{R}^3 com o produto interno usual e nos dá o conjunto
\beta = \Bigl\{\,v_1,v_2,v_3\Bigr\}
onde
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},
e o vetor
w = \begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Precisamos (a) verificar que \beta é uma base ortogonal e (b) usar coeficientes de Fourier para achar as coordenadas de w em \beta, ou seja [w]_\beta.

Passo 2

Para ver que \beta é ortogonal, basta conferir os produtos internos v_i\cdot v_j para i\neq j:
v_1\cdot v_2 = (-1)\cdot 2 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = -2 + 1 + 1 = 0,
v_1\cdot v_3 = (-1)\cdot 0 + 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 0 + 1 - 1 = 0,
v_2\cdot v_3 = 2\cdot 0 + 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 0 + 1 - 1 = 0.
Como todos os produtos internos são zero, \beta é ortogonal.

Passo 3

Calculemos as normas ao quadrado de cada v_i:
\|v_1\|^2 = (-1)^2 + 1^2 + 1^2 = 3, \quad \|v_2\|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6, \quad \|v_3\|^2 = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2.

Passo 4

Em uma base ortogonal \{v_i\}, o coeficiente de Fourier c_i de w é
c_i = \frac{w\cdot v_i}{\|v_i\|^2}.
Logo:
w\cdot v_1 = 4\cdot(-1) + 0\cdot1 + 1\cdot1 = -4 + 0 + 1 = -3 \quad\Longrightarrow\quad c_1 = \frac{-3}{3} = -1,
w\cdot v_2 = 4\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 8 + 0 + 1 = 9 \quad\Longrightarrow\quad c_2 = \frac{9}{6} = \tfrac{3}{2},
w\cdot v_3 = 4\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot(-1) = -1 \quad\Longrightarrow\quad c_3 = \frac{-1}{2} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Portanto, as coordenadas de w na base ortogonal \beta são
[w]_{\beta} = \begin{pmatrix} c_1 \\\ c_2 \\\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\\ \tfrac{3}{2} \\\\ -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

Resposta

[w]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\tfrac{3}{2}\\\ -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.

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