Considere o espaço euclideano \mathbb{R}^{3} e os vetores u=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ 0 \\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{c}a \\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ -b\end{array}\right]. Determine valores para a, b tais que o conjunto \{u, v\} seja ortonormal.

Passo 1

O enunciado está em \mathbb{R}^3 e dá os vetores
u=\begin{pmatrix}\tfrac1{\sqrt2}\\\ 0\\tfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}a\\tfrac1{\sqrt2}\\\ -b\end{pmatrix}.
Queremos que \{u,v\} seja ortonormal, ou seja:
  1. u\perp v, isto é \langle u,v\rangle=0,
  2. \|v\|=1.

Passo 2

Calculamos o produto interno
\langle u,v\rangle =\frac1{\sqrt2}\,a+0\cdot\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}(-b) =\frac{a-b}{\sqrt2}.
Para ser zero, exige-se
\frac{a-b}{\sqrt2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a=b.

Passo 3

Agora impomos \|v\|=1. Temos
\|v\|^2 =a^2+\Bigl(\frac1{\sqrt2}\Bigr)^{2}+(-b)^2 =a^2+\frac12+b^2.
Como b=a, fica
\|v\|^2=2a^2+\frac12\stackrel!=1 \quad\Longrightarrow\quad 2a^2=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad a^2=\frac14 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm\frac12,
e então b=a.

Resposta

(a,b)=\Bigl(\tfrac12,\tfrac12\Bigr) \quad\text{ou}\quad (a,b)=\Bigl(-\tfrac12,-\tfrac12\Bigr).

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