Considere um espaço de probabilidade (Omega, A, P) e sejam A e B dois eventos de Omega, isto é, A, B in A.
Se P(A)=P(B)=2 / 5 e P(A cup B)=1 / 2, determine P(A cap B).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um espaço de probabilidade e dois eventos P(Acup B);=;P(A);+;P(B);-;P(Acap B) e . O enunciado diz que
A matéria é Probabilidade básica: especificamente a relação entre união e interseção de dois eventos.
O que vamos precisar? A fórmula de inclusão–exclusão para dois eventos, que é

Passo 2

Agora vamos entender de onde vem essa fórmula. Quando você soma P(Acup B) = P(A) + P(B) - P(Acap B) e , a parte que está em é contada duas vezes. Por isso a gente subtrai uma vez pra acertar as contas. É por isso que
[
P(A\cup B)

P(A)
+
P(B)

P(A\cap B).
]

Passo 3

Bora colocar os números na fórmula:
12 ;=; P(Acup B) ;=; P(A)+P(B)-P(Acap B) ;=; 25+25-P(Acap B)
Então
[
\frac12

\frac{4}{5}

P(A\cap B).
]
Isolando 12 = 45 - P(Acap B) :
[
P(A\cap B)

\frac{4}{5}

\frac12.
]

Resposta

[
P(A\cap B)

\frac{4}{5}-\frac12

\frac{8}{10}-\frac{5}{10}

\frac{3}{10}.
]

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