Considere um ponto escolhido ao acaso sobre o quadrado unitário [0,1] times[0,1].
Descreva um espaço de probabilidade adequado ao experimento.

Passo 1

Beleza, aqui a questão é bem direta: a gente escolhe um ponto ao acaso dentro do quadrado unitário [0,1]times[0,1] . O que eles pedem é “descrever um espaço de probabilidade” que modele esse experimento.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de espaço de probabilidade como um tripé .
  • Noções de sigma-álgebra (especialmente a de Borel em ).
  • Medida de probabilidade (aqui a gente vai usar a medida de Lebesgue restrita ao quadrado, ou seja, a “área”).

Passo 2

Definindo o espaço amostral Omega = [0,1]times[0,1] :
Como estamos escolhendo qualquer ponto dentro do quadrado, basta tomar
Esse é o conjunto de todos os possíveis pontos que podem sair no nosso experimento.

Passo 3

Escolhendo a sigma-álgebra :
Geralmente, pra pontos em , a gente usa a sigma-álgebra de Borel, ou seja, , que é gerada por todos os conjuntos abertos do quadrado. Na prática, isso garante que é possível medir “área” de qualquer região bacana (e até de várias regiões meio tortas).

Passo 4

Definindo a medida de probabilidade P(A) = área(A) = integral duplaA dx,dy :
Queremos que cada ponto do quadrado seja igualmente provável. Isso é exatamente a ideia da medida de Lebesgue “área” normalizada. Para qualquer , definimos
á
Como a área total de é 1, isso já satisfaz .

Resposta

O espaço de probabilidade é o triplo
(Omega,F,P)
onde
Omega = [0,1]times[0,1], F = B([0,1]^2), P(A) = integral duplaA dx,dy

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