Considere um ponto escolhido ao acaso sobre o quadrado unitário
.
Descreva um espaço de probabilidade adequado ao experimento.
Descreva um espaço de probabilidade adequado ao experimento.
Passo 1
Beleza, aqui a questão é bem direta: a gente escolhe um ponto ao acaso dentro do quadrado unitário
. O que eles pedem é “descrever um espaço de probabilidade” que modele esse experimento.
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de espaço de probabilidade como um tripé
. - Noções de sigma-álgebra (especialmente a de Borel em
). - Medida de probabilidade (aqui a gente vai usar a medida de Lebesgue restrita ao quadrado, ou seja, a “área”).
Passo 2
Definindo o espaço amostral
:
Como estamos escolhendo qualquer ponto dentro do quadrado, basta tomar
Como estamos escolhendo qualquer ponto dentro do quadrado, basta tomar
Esse é o conjunto de todos os possíveis pontos que podem sair no nosso experimento.
Passo 3
Escolhendo a sigma-álgebra
:
Geralmente, pra pontos em , a gente usa a sigma-álgebra de Borel, ou seja,
, que é gerada por todos os conjuntos abertos do quadrado. Na prática, isso garante que é possível medir “área” de qualquer região bacana (e até de várias regiões meio tortas).
Geralmente, pra pontos em
Passo 4
Definindo a medida de probabilidade
:
Queremos que cada ponto do quadrado seja igualmente provável. Isso é exatamente a ideia da medida de Lebesgue “área” normalizada. Para qualquer , definimos
Queremos que cada ponto do quadrado seja igualmente provável. Isso é exatamente a ideia da medida de Lebesgue “área” normalizada. Para qualquer
Como a área total de
é 1, isso já satisfaz
.
Resposta
O espaço de probabilidade é o triplo
onde