Considere um espaço de probabilidade (Omega, A, P) e sejam A e B dois eventos de Omega, isto é, A, B in A.
Se P(A)=1 / 3, P(A cup B)=1 / 2 e P(A cap B)=1 / 4, determine P(B).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: num espaço de probabilidade temos dois eventos P(A)=tfrac13, P(Acup B)=tfrac12, P(Acap B)=tfrac14 e . Sabemos que
O conteúdo aqui é a fórmula de inclusão-exclusão (ou união de dois eventos). Pra resolver, a gente vai precisar lembrar exatamente como se calcula em função de , e .

Passo 2

Teoria: a fórmula de inclusão-exclusão para dois eventos é
P(Acup B) ;=; P(A) + P(B) ;-; P(Acap B)
Isso faz sentido se você imaginar que, ao somar com , a região onde os dois acontecem ( ) ficou contada duas vezes, então você subtrai uma vez.

Passo 3

Agora, é só usar essa fórmula para isolar P(Acup B) = P(A) + P(B) - P(Acap B) . Começamos com
P(B) = P(Acup B) - P(A) + P(Acap B)
Queremos , então passamos os outros termos pro outro lado:

Passo 4

Substituindo os números que o enunciado deu:
P(B) = tfrac12 ;-;tfrac13 ;+;tfrac14
Vamos achar um denominador comum, que é 12:
tfrac12 = tfrac612, tfrac13 = tfrac412, tfrac14 = tfrac312
Então
P(B) = tfrac612 - tfrac412 + tfrac312 = tfrac6 - 4 + 312 = tfrac512

Resposta

boxedP(B) = tfrac512

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