Considere o espaço vetorial das funções contínuas . Mostre que as seguintes funções de são L.I.:
(d) , onde são constantes distintas.
Passo 1
Resumindo o enunciado: estamos no espaço vetorial e queremos mostrar que as funções
são linearmente independentes quando são constantes distintas. O conteúdo aqui é dependência linear em espaços de funções contínuas.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear não trivial que seja a função zero, isto é, existam escalares , nem todos nulos, tais que
para todo .
Passo 3
Como a soma acima se anula para todo , podemos derivar essa igualdade quantas vezes quisermos. A -ésima derivada em relação a é
ainda para todo .
Passo 4
Em particular, avaliando cada uma dessas igualdades em , obtemos para o sistema
]
Passo 5
Esse é um sistema linear em (c1,dots,ck) cuja matriz de coeficientes é a matriz de Vandermonde
V = l[ alphaj^,i-1 r]1 <= i,j <= k
Sabe-se que
det V = prod1 <= i < j <= k (alphaj - alphai),
que é não nulo exatamente porque as alphaj são todas distintas. Logo o único vetor solução é (c1,dots,ck) = (0,dots,0).
Resposta
Como a única solução do sistema é trivial, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule essas funções. Portanto, e^alpha1t,e^alpha2t,dots,e^alphakt são linearmente independentes em C(R;R).