Considere o espaço vetorial C(R ; R) das funções contínuas f: R R. Mostre que as seguintes funções de C(R ; R) são L.I.:
(d) e^alpha1 t, e^alpha2 t, ldots, e^alphak t, onde alpha1, alpha2 ldots, alphak são k constantes distintas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos no espaço vetorial C(R;R) e queremos mostrar que as funções
fj(t)=e^alphajt, j=1,2,dots,k,
são linearmente independentes quando alpha1,dots,alphak são constantes distintas. O conteúdo aqui é dependência linear em espaços de funções contínuas.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear não trivial que seja a função zero, isto é, existam escalares c1,c2,dots,ck, nem todos nulos, tais que
sumj=1^kcje^alphajt=0
para todo tinR.

Passo 3

Como a soma acima se anula para todo t, podemos derivar essa igualdade quantas vezes quisermos. A m-ésima derivada em relação a t é
d^mdt^ml(sumj=1^kcje^alphajtr) =sumj=1^kcjalphaj^me^alphajt =0,
ainda para todo t.

Passo 4

Em particular, avaliando cada uma dessas igualdades em t=0, obtemos para m=0,1,dots,k-1 o sistema
sumj=1^k cj alphaj^0 = 0, [1em] sumj=1^k cj alphaj^1 = 0, [0.5em] vdots [0.5em] sumj=1^k cj alphaj^,k-1 = 0 ]

Passo 5

Esse é um sistema linear em (c1,dots,ck) cuja matriz de coeficientes é a matriz de Vandermonde
V = l[ alphaj^,i-1 r]1 <= i,j <= k
Sabe-se que
det V = prod1 <= i < j <= k (alphaj - alphai),
que é não nulo exatamente porque as alphaj são todas distintas. Logo o único vetor solução é (c1,dots,ck) = (0,dots,0).

Resposta

Como a única solução do sistema é trivial, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule essas funções. Portanto, e^alpha1t,e^alpha2t,dots,e^alphakt são linearmente independentes em C(R;R).

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