Para cada subconjunto
do espaço vetorial indicado abaixo, decida se
é um subespaço vetorial:
(c) O conjunto
que consiste na união dos eixos coordenados (i.e.,
eixo ox
eixo oy
.
(c) O conjunto
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
formado pela união do eixo
e do eixo
é subespaço vetorial. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostrar que
contém o vetor zero e é fechado sob multiplicação por escalar. Note que
pertence a ambos os eixos, logo
. Seja
.
- Se
(eixo ), então para todo
- Se
(eixo ), então
Logo,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Verificar fechamento sob adição e encontrar um contraexemplo. Considere
e
.
Então
Então
O vetor
não está nem no eixo
nem no eixo
, logo
. Portanto,
não é fechado sob soma.