Para cada subconjunto W do espaço vetorial indicado abaixo, decida se W é um subespaço vetorial:
(c) O conjunto W subset R^2 que consiste na união dos eixos coordenados (i.e., W= eixo ox cup eixo oy ).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto WsubsetR^2 formado pela união do eixo x e do eixo y é subespaço vetorial. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostrar que W contém o vetor zero e é fechado sob multiplicação por escalar. Note que (0,0) pertence a ambos os eixos, logo (0,0)inW. Seja vinW.
  • Se v=(a,0) (eixo x), então para todo cinR
cv=(ca,0)ineixo xsubsetW
  • Se v=(0,b) (eixo y), então
cv=(0,cb)ineixo ysubsetW
Logo, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição e encontrar um contraexemplo. Considere
u=(1,0)inW e v=(0,1)inW.
Então
u+v=(1,0)+(0,1)=(1,1)
O vetor (1,1) não está nem no eixo x nem no eixo y, logo u+vnotinW. Portanto, W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^2, pois falha o fechamento na adição.

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