Seja W o subespaço vetorial de P3 dado por W=>=r[p1(X), p2(X), p3(X)], onde p1(X)=X^3-X^2+1, p2(t)=-X^3+2 X^2+X-1, e p3(t)=X^2-2 X+2. Quais condições os coeficientes a0, a1, a2, a3 devem satisfazer para que o polinômio p(X)=a0+a1 X+a2 X^2+a3 X^3 pertença a W ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço

com
Queremos saber para quais coeficientes o polinômio
pertence a . Vamos expressar como combinação linear de e igualar coeficientes.

Passo 2

Suponha
p(X)=alpha,p1(X)+beta,p2(X)+gamma,p3(X)
Comparando coeficientes de X^3,X^2,X,1 obtemos o sistema
alpha-beta=a3, -alpha+2beta+gamma=a2, beta-2gamma=a1, alpha-beta+2gamma=a0

Passo 3

Das duas primeiras igualdades isolamos alpha e beta em função de gamma e dos ai:
alpha=;a3+beta, beta=;a1+2gamma

Passo 4

Somando a segunda e a quarta equações do sistema achamos
beta+3gamma=a2+a0
Substituindo beta=a1+2gamma vem
a1+5gamma=a2+a0 Longrightarrow gamma=a2+a0-a15
Voltando e impondo a consistência da quarta equação gera a condição entre os ai:
5,a3+2,a2-2,a1-3,a0=0

Resposta

A condição necessária e suficiente para p(X)=a0+a1X+a2X^2+a3X^3 pertencer a W é
3,a0+2,a1-2,a2-5,a3=0

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