Considere o espaço vetorial \mathbb{C}^{3}. Verifique que
\beta=\left\{\left[\begin{array}{c} 1+i \\\\ 1-i \\\ i \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -i \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1+i \\\\ 1-i \\\\ -4 i \end{array}\right]\right\}
é uma base ortogomal de \mathbb{C}^{3}. Use os coeficientes de fourier para determinar [w]_{\beta}, sendo w=\left[\begin{array}{c}3+i \\\\ 2 i \\\\ -1-i\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\beta=\{v_1,v_2,v_3\}\subset\mathbb{C}^3 é ortogonal sob o produto interno padrão e, em seguida, usar os coeficientes de Fourier para expressar
w=\begin{pmatrix}3+i\\\ 2i\\\ -1-i\end{pmatrix}
nessa base.

Passo 2

Definimos
v_1=\begin{pmatrix}1+i\\\ 1-i\i\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-i\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1+i\\\ 1-i\\\ -4i\end{pmatrix},
e usamos o produto interno em \mathbb{C}^3:
\langle x,y\rangle=\overline{x_1}\,y_1+\overline{x_2}\,y_2+\overline{x_3}\,y_3.

Passo 3

Calculamos os produtos internos cruzados:
\langle v_1,v_2\rangle=(1-i)(-i)+(1+i)\cdot1+(-i)\cdot0=(-1 - i +1 + i)=0
\langle v_1,v_3\rangle=(1-i)(1+i)+(1+i)(1-i)+(-i)(-4i)=2+2-4=0
\langle v_2,v_3\rangle=i(1+i)+1\cdot(1-i)=i+i^2+1-i=0
Como todos esses produtos são zero, \beta é ortogonal.

Passo 4

Agora calculamos as “normas ao quadrado” de cada vetor:
\langle v_1,v_1\rangle=(1-i)(1+i)+(1+i)(1-i)+(-i)(i)=2+2+1=5
\langle v_2,v_2\rangle=(i)(-i)+1\cdot1+0=1+1=2
\langle v_3,v_3\rangle=(1-i)(1+i)+(1+i)(1-i)+(4i)(-4i)=2+2+16=20

Passo 5

Os coeficientes de Fourier são
c_i=\frac{\langle v_i,w\rangle}{\langle v_i,v_i\rangle}.
Primeiro os numeradores:
\langle v_1,w\rangle=(1-i)(3+i)+(1+i)(2i)+(-i)(-1-i)=4-2i-2+2i+i-1=1+i
\langle v_2,w\rangle=i(3+i)+1\cdot2i=3i-1+2i=-1+5i
\langle v_3,w\rangle=(1-i)(3+i)+(1+i)(2i)+(4i)(-1-i)=4-2i-2+2i+4-4i=6-4i
Logo,
c_1=\frac{1+i}{5},\quad c_2=\frac{-1+5i}{2},\quad c_3=\frac{6-4i}{20}=\frac{3-2i}{10}.

Resposta

w_{\beta} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{5} \\[6pt] \frac{-1+5i}{2} \\[6pt] \frac{3-2i}{10} \end{pmatrix}.]

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