Considere o espaço vetorial mathcal{P}_{2} munido com o produto interno:
\langle p, q\rangle=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}, \quad \forall p, q \in \mathcal{P}_{2}
em que p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} e q(t)=b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}.
Determine todos os polinômios s(t)=a t^{2}+b t+c \in \mathcal{P}_{2} que são ortogonais ao polinômio r(t)=12(t+1) com relação ao produto interno dado.

Passo 1

O enunciado fala do espaço de polinômios \mathcal{P}_{2} com o produto interno dado por
\langle p,q\rangle = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2},
onde p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2} e q(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}.
Queremos achar todos os s(t)=a\,t^{2}+b\,t+c tais que \langle s,r\rangle=0, sendo r(t)=12(t+1).

Passo 2

Primeiro, escrevemos r(t) em forma de coeficientes:
r(t)=12(t+1)=0\cdot t^{2} + 12\cdot t + 12.
Ou seja, os coeficientes de r são b_{2}=0, b_{1}=12 e b_{0}=12.

Passo 3

Pelo produto interno,
\langle s,r\rangle = a\cdot 0 + b\cdot 12 + c\cdot 12 = 12b + 12c.
Para que s seja ortogonal a r, exigimos
\langle s,r\rangle = 0 \;\Longrightarrow\; 12b + 12c = 0.

Passo 4

Da equação 12b + 12c = 0 segue
b + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = -b.

Passo 5

Concluímos que a e b são livres, e c fica determinado por c=-b. Logo, todos os polinômios ortogonais a r são
s(t)=a\,t^{2} + b\,t - b,
com a,b\in\mathbb{R}.

Resposta

Todos os polinômios da forma
s(t)=a\,t^{2}+b\,t - b,
onde a e b são números reais.

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