Considere o espaço vetorial
munido com o produto interno:
em que
e
.
Determine todos os polinômios
que são ortogonais ao polinômio
com relação ao produto interno dado.
Determine todos os polinômios
Passo 1
O enunciado fala do espaço de polinômios
com o produto interno dado por
onde
e
.
Queremos achar todos os tais que
, sendo
.
Queremos achar todos os
Passo 2
Primeiro, escrevemos
em forma de coeficientes:
Ou seja, os coeficientes de
são
,
e
.
Passo 3
Pelo produto interno,
Para que
seja ortogonal a
, exigimos
Passo 4
Da equação
segue
Passo 5
Concluímos que
e
são livres, e
fica determinado por
. Logo, todos os polinômios ortogonais a
são
com
.
Resposta
Todos os polinômios da forma
onde
e
são números reais.