Considere o espaço vetorial real
\mathcal{C}^{0}\left(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)=\left\{f:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} ; f \text { é contínua em }\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right\}éí
munido com o produto interno
\langle f, g\rangle=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) g(t) d t, \quad \forall f, g \in \mathcal{C}^{0}\left(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)
Dadas as funções f(t)=\operatorname{sen} t e g(t)=\cos t, determine o ângulo \theta formado entre f e g.

Passo 1

O enunciado define o espaço de funções contínuas em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(t)\,g(t)\,dt
e pede o ângulo \theta entre f(t)=\sin t e g(t)=\cos t. Para isso vamos usar a fórmula do ângulo em espaços com produto interno:
\cos\theta=\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\;\|g\|},
onde \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.

Passo 2

Calcular o produto interno \langle f,g\rangle:
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t\,dt.
Usando a primitiva de \sin t\cos t:
\int \sin t\cos t\,dt=\frac12\sin^2 t,
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\langle f,g\rangle =\left.\frac12\sin^2 t\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac12\bigl(1-0\bigr) =\frac12.

Passo 3

Calcular as normas \|f\| e \|g\|. Primeiro
\|f\|^2 =\langle f,f\rangle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t\,dt
e sabemos que
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t\,dt =\frac{\pi}{4}.
Então
\|f\|=\sqrt{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
De modo análogo,
\|g\|^2 =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t\,dt =\frac{\pi}{4},
portanto
\|g\|=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta =\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\;\|g\|} =\frac{\tfrac12}{\bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\bigr)\!\bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\bigr)} =\frac{\tfrac12}{\tfrac{\pi}{4}} =\frac{2}{\pi}.
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\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}\bigr).

Resposta

\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}\bigr).

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