Considere o espaço vetorial , onde é o conjunto L.I abaixo
O conjunto
é uma base de .
a) Encontre a matriz de passagem da base para a base .
Dica: .
b) Observe que é mais fácil encontrar a integral
do que encontrar a integral
Assim, utilize o item a) para encontrar a representação do vetor
na base .
Passo 1
O espaço tem duas bases ordenadas
e .
Precisamos (a) encontrar a matriz de passagem que leva coordenadas em para coordenadas em , ou seja, escrever cada como combinação linear dos ;
(b) usar essa matriz para achar as coordenadas de
na base .
Passo 2
Usamos as fórmulas trigonométricas dadas na dica
Assim, em termos da base :
.
.
.
.
.
Passo 3
A matriz de passagem de para tem essas coordenadas como colunas, na ordem . Logo
Passo 4
Para expressar
f=5,cos^2x-3,cos^3x+10,cos^4x
na base U, usamos as coordenadas de cos^2x,cos^3x,cos^4x e combinamos: