Considere o espaço vetorial E=lceilVrceil, onde V é o conjunto L.I abaixo
V=1, cos x, cos ^2 x, cos ^3 x, cos ^4 x
O conjunto
U=1, cos x, cos (2 x), cos (3 x), cos (4 x)
é uma base de E.
a) Encontre a matriz de passagem da base V para a base U.
Dica: cos ([n+m] x)+cos ([n-m] x)=2 cos (n x) cos (m x), n, m in N e faça n=m=1 ; n=2, m=1 ; n=m=2ç.
b) Observe que é mais fácil encontrar a integral
integral(5 cos (2 x)-3 cos (3 x)+10 cos (4 x)) d x
do que encontrar a integral
integral(5 cos ^2 x-3 cos ^3 x+10 cos ^4 x) d x
Assim, utilize o item a) para encontrar a representação do vetor
f=5 cos ^2 x-3 cos ^3 x+10 cos ^4 x
na base U.

Passo 1

O espaço E tem duas bases ordenadas
V=(v1,v2,v3,v4,v5)=(1,cos x,cos^2x,cos^3x,cos^4x)
e
U=(u1,u2,u3,u4,u5)=(1,cos x,cos2x,cos3x,cos4x).
Precisamos (a) encontrar a matriz de passagem P que leva coordenadas em V para coordenadas em U, ou seja, escrever cada vj como combinação linear dos ui;
(b) usar essa matriz para achar as coordenadas de
f=5cos^2x-3cos^3x+10cos^4x
na base U.

Passo 2

Usamos as fórmulas trigonométricas dadas na dica
cos^2x=1+cos2x2,
cos^3x=3cos x+cos3x4,
cos^4x=3+4cos2x+cos4x8
Assim, em termos da base U:
  1. v1=1=1cdot u1+0cdot u2+0cdot u3+0cdot u4+0cdot u5.
  2. v2=cos x=0cdot u1+1cdot u2+0cdot u3+0cdot u4+0cdot u5.
  3. v3=cos^2x=tfrac12,u1+0,u2+tfrac12,u3+0,u4+0,u5.
  4. v4=cos^3x=0,u1+tfrac34,u2+0,u3+tfrac14,u4+0,u5.
  5. v5=cos^4x=tfrac38,u1+0,u2+tfrac12,u3+0,u4+tfrac18,u5.

Passo 3

A matriz de passagem P de V para U tem essas coordenadas como colunas, na ordem v1,v2,v3,v4,v5. Logo
P= 1 & 0 & tfrac12 & 0 & tfrac38 0 & 1 & 0 & tfrac34 & 0 0 & 0 & tfrac12 & 0 & tfrac12 0 & 0 & 0 & tfrac14 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & tfrac18

Passo 4

Para expressar
f=5,cos^2x-3,cos^3x+10,cos^4x
na base U, usamos as coordenadas de cos^2x,cos^3x,cos^4x e combinamos:
f&=5l(tfrac12,u1+tfrac12,u3r) -3l(tfrac34,u2+tfrac14,u4r) +10l(tfrac38,u1+tfrac12,u3+tfrac18,u5r) &=l(5cdottfrac12+10cdottfrac38r)u1 -l(3cdottfrac34r)u2 +l(5cdottfrac12+10cdottfrac12r)u3 -l(3cdottfrac14r)u4 +l(10cdottfrac18r)u5 &=tfrac254,u1-tfrac94,u2+tfrac152,u3-tfrac34,u4+tfrac54,u5

Resposta

A matriz de passagem de V para U é
P= 1 & 0 & tfrac12 & 0 & tfrac38 0 & 1 & 0 & tfrac34 & 0 0 & 0 & tfrac12 & 0 & tfrac12 0 & 0 & 0 & tfrac14 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & tfrac18 ,
e as coordenadas de
f=5cos^2x-3cos^3x+10cos^4x
na base U são
l[!fr] U =tfrac254-tfrac94tfrac152-tfrac34tfrac54

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