Prove as afirmações abaixo ou dê um exemplo mostrando que elas não são verdadeiras:
a) Existe pelo menos um subconjunto
que é linearmente independente;
b) Se
é um subconjunto linearmente dependente, do espaço vetorial
, então qualquer vetor de
poderá ser escrito como combinação linear de outros vetores de
;
c) Existe pelo menos um conjunto
que gera o espaço vetorial
;
d) Existe pelo menos um conjunto
que gera o espaço
.
a) Existe pelo menos um subconjunto
b) Se
c) Existe pelo menos um conjunto
d) Existe pelo menos um conjunto
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre independência linear e geração de espaços vetoriais em
e
. Vamos usar os conceitos de dimensão de um espaço vetorial (número máximo de vetores independentes) e de conjunto gerador (span) para provar cada caso ou fornecer um contraexemplo quando a afirmação for falsa.
Passo 2
Para (a) diz-se que existe
linearmente independente. Mas
, logo qualquer conjunto com mais de dois vetores em
é necessariamente linearmente dependente. Portanto essa afirmação é falsa.
Passo 3
Para (b) afirma–se que se
é linearmente dependente, então qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos demais. Sabemos que num conjunto dependente existe pelo menos um vetor que é combinação dos outros, mas não obrigatoriamente todos.
Exemplo de contraexemplo:
Exemplo de contraexemplo:
Aqui
mostra dependência, mas
não está no span dos outros três (suas terceiras coordenadas nos outros são zero). Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Para (c) diz-se que existe
que gera
. Conjuntos geradores podem ter mais vetores que a dimensão do espaço. Por exemplo,
gera
porque
e
já são base e
é combinação deles. Assim a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Para (d) afirma–se que existe
que gera
. Mas
implica que qualquer conjunto gerador precisa de pelo menos três vetores. Logo não existe conjunto de apenas dois vetores gerando
e a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.