Prove as afirmações abaixo ou dê um exemplo mostrando que elas não são verdadeiras:
a) Existe pelo menos um subconjunto v1, v2, v3 subset R^2 que é linearmente independente;
b) Se X=v1, v2, v3, v4 é um subconjunto linearmente dependente, do espaço vetorial R^3, então qualquer vetor de X poderá ser escrito como combinação linear de outros vetores de X;
c) Existe pelo menos um conjunto v1, v2, v3 subset R^2 que gera o espaço vetorial R^2;
d) Existe pelo menos um conjunto v1, v2 subset R^3 que gera o espaço R^3.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre independência linear e geração de espaços vetoriais em R^2 e R^3. Vamos usar os conceitos de dimensão de um espaço vetorial (número máximo de vetores independentes) e de conjunto gerador (span) para provar cada caso ou fornecer um contraexemplo quando a afirmação for falsa.

Passo 2

Para (a) diz-se que existe v1,v2,v3subsetR^2 linearmente independente. Mas dim(R^2)=2, logo qualquer conjunto com mais de dois vetores em R^2 é necessariamente linearmente dependente. Portanto essa afirmação é falsa.

Passo 3

Para (b) afirma–se que se X=v1,v2,v3,v4subsetR^3 é linearmente dependente, então qualquer vetor de X pode ser escrito como combinação linear dos demais. Sabemos que num conjunto dependente existe pelo menos um vetor que é combinação dos outros, mas não obrigatoriamente todos.
Exemplo de contraexemplo:
X=(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)
Aqui (1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0) mostra dependência, mas (0,0,1) não está no span dos outros três (suas terceiras coordenadas nos outros são zero). Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Para (c) diz-se que existe v1,v2,v3subsetR^2 que gera R^2. Conjuntos geradores podem ter mais vetores que a dimensão do espaço. Por exemplo,
(1,0),(0,1),(1,1)
gera R^2 porque (1,0) e (0,1) já são base e (1,1) é combinação deles. Assim a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Para (d) afirma–se que existe v1,v2subsetR^3 que gera R^3. Mas dim(R^3)=3 implica que qualquer conjunto gerador precisa de pelo menos três vetores. Logo não existe conjunto de apenas dois vetores gerando R^3 e a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.

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