Considere o espaço vetorial real
dos polinômios de coeficientes reais. Verifique se o conjunto
p
}
\mathcal{P}(\mathbb{R})$.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
sobre o campo
e o subconjunto
Para que
seja subespaço de
precisamos verificar três propriedades:
-
. - Fechamento sob adição: se
então . - Fechamento sob multiplicação por escalar
: se então .
Passo 2
Primeiro mostramos que
não é vazio e é fechado sob adição.
O polinômio zero tem coeficientes
, logo
.
Sejam e
em
, com
.
Então
O polinômio zero
Sejam
Então
e como a soma de dois racionais é racional, cada coeficiente
. Logo
.
Passo 3
Agora verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
.
Temos
Temos
Se
for irracional (por exemplo
) e
, então
tem coeficiente
, logo
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalares de
.
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
, pois não satisfaz o fechamento sob multiplicação por escalar em
.