Considere o espaço vetorial real P(R) dos polinômios de coeficientes reais. Verifique se o conjunto F=p in P(R); os coeficientes de p são racionais ã} é um subespaço de éç\mathcal{P}(\mathbb{R})$.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P(R) sobre o campo R e o subconjunto
F=,pinP(R) midtodos os coeficientes de p são racionais ã
Para que F seja subespaço de P(R) precisamos verificar três propriedades:
  1. Fneqvarnothing.
  2. Fechamento sob adição: se p,qin F então p+qin F.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar alphainR: se pin F então alpha pin F.

Passo 2

Primeiro mostramos que F não é vazio e é fechado sob adição.
O polinômio zero 0(x)=0 tem coeficientes 0inQ, logo 0in F.
Sejam p(x)=sumi ai x^i e q(x)=sumi bi x^i em F, com ai,biinQ.
Então
(p+q)(x)=sumi (ai+bi),x^i
e como a soma de dois racionais é racional, cada coeficiente ai+biinQ. Logo p+qin F.

Passo 3

Agora verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e p(x)=sumi ai x^iin F.
Temos
(alpha p)(x)=sumi (alpha,ai),x^i
Se alpha for irracional (por exemplo alpha=raiz2) e p(x)=1, então
(raiz2cdot 1)(x)=raiz2
tem coeficiente raiz2notinQ, logo alpha pnotin F. Portanto, F não é fechado sob multiplicação por escalares de R.

Resposta

O conjunto F não é subespaço de P(R), pois não satisfaz o fechamento sob multiplicação por escalar em R.

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