Considere o espaço vetorial real ( \left.C^{1}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}),+,.\right).Verifique se as funções f e g são linearmente dependente em \left(C^{1}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}),+,.\right), onde
f(x)=\cos x \quad \text { e } \quad g(x)=\sin x, \quad x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f(x)=\cos x
e
g(x)=\sin x
são linearmente dependentes no espaço vetorial \bigl(C^1(\mathbb{R};\mathbb{R}),+,\cdot\bigr). O conteúdo que vamos usar é a definição de dependência linear de funções: existe uma combinação linear não trivial que seja a função zero?

Passo 2

Recordando a definição, f e g são linearmente dependentes se existem escalares a,b\in\mathbb{R}, não ambos nulos, tais que
a\,f(x)+b\,g(x)=0 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Em outras palavras,
a\cos x + b\sin x = 0 \quad\forall x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para testar essa igualdade, escolhemos valores de x convenientes:
  1. Em x=0 temos
a\cos0 + b\sin0 = a\cdot1 + b\cdot0 = a = 0.
  1. Em x=\tfrac{\pi}{2} temos
a\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + b\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = a\cdot0 + b\cdot1 = b = 0.
Logo, a única solução de a\cos x + b\sin x = 0 para todo x é a=b=0, ou seja, a combinação linear é trivial.

Resposta

As funções f(x)=\cos x e g(x)=\sin x são linearmente independentes em C^1(\mathbb{R};\mathbb{R}).

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