Considere os conjuntos U e W
U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y+t+z=0\right\} \text { e } W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x+y-t+z=0\right\}
Encontre as bases e as dimensões dos espaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{4},+,. ).

Passo 1

O enunciado pede as bases e dimensões dos subespaços
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4\mid x-y+z+t=0\}, \quad W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4\mid x+y+z-t=0\},
além de U\cap W e U+W. Para isso vamos usar a parametrização dos vetores que satisfazem cada equação linear, aplicar o Teorema da Dimensão para interseção e soma, e extrair bases a partir dos parâmetros livres.

Passo 2

Para U temos a única restrição
x - y + z + t = 0
que nos dá
x = y - z - t.
Escolhendo parâmetros livres y=a, z=b, t=c, obtemos
(x,y,z,t) = (a - b - c,\;a,\;b,\;c) = a\,(1,1,0,0) \;+\; b\,(-1,0,1,0)\;+\;c\,(-1,0,0,1).
Logo uma base de U é
\{(1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
e pelo número de parâmetros livres
\dim(U)=3.

Passo 3

Para W a equação é
x + y + z - t = 0
de onde
x = -y - z + t.
Tomando y=a, z=b, t=c como parâmetros,
(x,y,z,t) = (-a - b + c,\;a,\;b,\;c) = a\,(-1,1,0,0)\;+\;b\,(-1,0,1,0)\;+\;c\,(1,0,0,1).
Assim uma base de W é
\{(-1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(1,0,0,1)\},
e
\dim(W)=3.

Passo 4

Para U\cap W\) resolvemos simultaneamente \[\begin{cases} x - y + z + t = 0,\\\ x + y + z - t = 0. \end{cases}
Somando as equações vem 2x+2z=0\], ou seja \(x=-z. Subtraindo a segunda da primeira vem -2y+2t=0, ou y=t. Tomando z=a, t=b, obtemos
(x,y,z,t) = (-a,b,a,b) = a\,(-1,0,1,0)\;+\;b\,(0,1,0,1).
Logo
\{(-1,0,1,0),\;(0,1,0,1)\}
é uma base de U\cap W, e
\dim(U\cap W)=2.

Passo 5

Pelo Teorema da Dimensão para soma e interseção em espaços finito-dimensionais,
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=3+3-2=4.
Como U+W\subseteq\mathbb R^4 e tem dimensão 4, segue U+W=\mathbb R^4. Portanto qualquer base de \mathbb R^4 serve; por exemplo, extraindo quatro vetores independentes de \{(1,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(-1,0,0,1),\,(-1,1,0,0)\}
temos uma base de U+W.

Resposta

Para U:
base \{(1,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(-1,0,0,1)\}, \dim(U)=3.
Para W:
base \{(-1,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(1,0,0,1)\}, \dim(W)=3.
Para U\cap W:
base \{(-1,0,1,0),\,(0,1,0,1)\}, \dim(U\cap W)=2.
Para U+W: U+W=\mathbb R^4, \dim(U+W)=4 (por exemplo, base extraída de \{(1,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(-1,0,0,1),\,(-1,1,0,0)\}).

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