Considere os conjuntos
e
Encontre as bases e as dimensões dos espaços vetoriais
e
do espaço vetorial real (
. ).
Passo 1
O enunciado pede as bases e dimensões dos subespaços
além de
e
. Para isso vamos usar a parametrização dos vetores que satisfazem cada equação linear, aplicar o Teorema da Dimensão para interseção e soma, e extrair bases a partir dos parâmetros livres.
Passo 2
Para
temos a única restrição
que nos dá
Escolhendo parâmetros livres
,
,
, obtemos
Logo uma base de
é
e pelo número de parâmetros livres
Passo 3
Para
a equação é
de onde
Tomando
,
,
como parâmetros,
Assim uma base de
é
e
Passo 4
Para
Somando as equações vem
. Subtraindo a segunda da primeira vem
, ou
. Tomando
,
, obtemos
Logo
é uma base de
, e
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão para soma e interseção em espaços finito-dimensionais,
Como
e tem dimensão 4, segue
. Portanto qualquer base de
serve; por exemplo, extraindo quatro vetores independentes de
temos uma base de .
temos uma base de
Resposta
Para
:
base ,
.
base
Para
:
base ,
.
base
Para
:
base ,
.
base
Para
:
,
(por exemplo, base extraída de
).