Considere o espaço vetorial real (
. ). Mostre que os vetores
são linearmente independentes em (
. ).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores
,
e
em
são linearmente independentes. Em outras palavras, precisamos provar que a única combinação
que dá o vetor nulo é a combinação trivial
.
Passo 2
Escrevendo a igualdade de vetores coordenada a coordenada, temos
Passo 3
Da terceira equação segue imediatamente
Substituindo na segunda equação
obtemos
Substituindo
Por fim, usando
e
na primeira equação
resulta
Passo 4
Como a única solução do sistema é
, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule os vetores. Portanto, eles são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores
,
e
são linearmente independentes em
.