Considere o espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+,. ). Mostre que os vetores (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) \in \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes em ( \mathbb{R}^{3},+,. ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores (1,1,1), (1,1,0) e (1,0,0) em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes. Em outras palavras, precisamos provar que a única combinação
\alpha\,(1,1,1)+\beta\,(1,1,0)+\gamma\,(1,0,0)=(0,0,0)
que dá o vetor nulo é a combinação trivial \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a igualdade de vetores coordenada a coordenada, temos
\alpha+\beta+\gamma=0
\alpha+\beta=0 \alpha=0

Passo 3

Da terceira equação segue imediatamente \alpha=0.
Substituindo \alpha=0 na segunda equação \alpha+\beta=0 obtemos
0+\beta=0\quad\Longrightarrow\quad\beta=0.
Por fim, usando \alpha=0 e \beta=0 na primeira equação \alpha+\beta+\gamma=0 resulta
0+0+\gamma=0\quad\Longrightarrow\quad\gamma=0.

Passo 4

Como a única solução do sistema é \alpha=\beta=\gamma=0, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule os vetores. Portanto, eles são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (1,1,1), (1,1,0) e (1,0,0) são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}.

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