Seja o espaço vetorial V=M(2,2) munido com o produto interno usual
\langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{B}^{t} \cdot \mathbf{A}\right) ; \quad \mathbf{A}, \mathbf{B} \in V .
Sejam \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\ m-1 & 1\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}-1 & m \\\ m^{2} & 1-m\end{array}\right) matrizes em V. Determinar m \in \mathbb{R} de modo que \mathbf{A} e \mathbf{B} sejam ortogonais, com respeito a este produto interno.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=M(2,2) com produto interno
\langle A,B\rangle = \mathrm{Tr}\bigl(B^{t}A\bigr),
e pede os valores de m\in\mathbb{R} tais que as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] m-1 & 1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}-1 & m \\[6pt] m^{2} & 1-m\end{pmatrix}
sejam ortogonais, isto é, \langle A,B\rangle=0.]

Passo 2

Uma propriedade útil é que
\langle A,B\rangle = \mathrm{Tr}(B^{t}A) = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}A_{ij}\,B_{ij}.
Dessa forma, basta multiplicar elemento a elemento de A e B e somar tudo.

Passo 3

Vamos calcular cada produto A_{ij}B_{ij} e somar:
\langle A,B\rangle = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{12} + A_{21}B_{21} + A_{22}B_{22}
= (1)(-1) + (1)(m) + (m-1)(m^{2}) + (1)(1-m) = -1 + m + m^{3} - m^{2} + 1 - m = m^{3} - m^{2}.

Passo 4

Para serem ortogonais impomos
m^{3} - m^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}(m-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad m=0\\ \text{ou}\\ m=1.

Resposta

m=0 ou m=1.

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