Considere o espaço vetorial real M(2,3) com produto interno usual
\langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{B}^{t} \cdot \mathbf{A}\right) .
Dadas as matrizes \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right), determine \langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle, \|\mathbf{A}\|, \|\mathbf{B}\|, \cos \theta, onde \theta é o ângulo formado entre as matrizes \mathbf{A} e \mathbf{B} e d(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\|\mathbf{B}-\mathbf{A}\| (distância entre as matrizes A e B ).

Passo 1

O enunciado nos coloca em M(2,3) com o produto interno usual
\langle \mathbf{A},\mathbf{B}\rangle = \operatorname{Tr}(\mathbf{B}^t\mathbf{A})
e dá
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Precisamos encontrar \langle\mathbf{A},\mathbf{B}\rangle, \|\mathbf{A}\|, \|\mathbf{B}\|, \cos\theta e d(\mathbf{A},\mathbf{B}).

Passo 2

Para o produto interno usamos a soma entrywise:
\langle \mathbf{A},\mathbf{B}\rangle =\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}B_{ij} =1\cdot1 + 0\cdot(-2) + 2\cdot1 + (-1)\cdot1 + 2\cdot0 + 1\cdot3 =5.

Passo 3

A norma de uma matriz é \|\mathbf{A}\|=\sqrt{\langle\mathbf{A},\mathbf{A}\rangle}. Assim,
\|\mathbf{A}\| =\sqrt{1^2+0^2+2^2+(-1)^2+2^2+1^2} =\sqrt{11},
\|\mathbf{B}\| =\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2+1^2+0^2+3^2} =\sqrt{16} =4.

Passo 4

O cosseno do ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B} é
\cos\theta =\frac{\langle\mathbf{A},\mathbf{B}\rangle}{\|\mathbf{A}\|\;\|\mathbf{B}\|} =\frac{5}{\sqrt{11}\cdot4} =\frac{5}{4\sqrt{11}}.

Passo 5

A distância é d(\mathbf{A},\mathbf{B})=\|\mathbf{B}-\mathbf{A}\|. Primeiro
\mathbf{B}-\mathbf{A} =\begin{pmatrix}0 & -2 & -1 \\\\ 2 & -2 & 2\end{pmatrix},
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d(\mathbf{A},\mathbf{B}) =\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2+2^2+(-2)^2+2^2} =\sqrt{17}.

Resposta

\langle\mathbf{A},\mathbf{B}\rangle = 5. \|\mathbf{A}\| = \sqrt{11}. \|\mathbf{B}\| = 4. \cos\theta = \dfrac{5}{4\sqrt{11}}. d(\mathbf{A},\mathbf{B}) = \sqrt{17}.

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