Seja P_{3} o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a 3 . Sejam p, q \in P_{3}. Defina o produto interno em P_{3} por
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^{1} p(t) q(t) d t
Considere W o subespaço de P_{3} gerado pelos vetores p(t)=1-t^{2} e q(t)=1+t^{2}. Determine:
(a) uma base ortogonal para W;
(b) o polinômio de W que melhor aproxima o polinômio definido por s(t)=t^{3}.

Passo 1

O enunciado trata do subespaço W\subset P_{3} gerado por p(t)=1-t^{2} e q(t)=1+t^{2}, com produto interno
\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1} f(t)\,g(t)\,dt.
Vamos (a) aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W e (b) projetar s(t)=t^{3} sobre W para achar a melhor aproximação em norma induzida por esse produto interno.

Passo 2

Calculemos os produtos internos necessários para Gram–Schmidt.
\langle p,p\rangle = \int_{-1}^{1} (1-t^{2})^{2}dt = \int_{-1}^{1} (1 -2t^{2}+t^{4})dt = 2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{16}{15}.
\langle p,q\rangle = \int_{-1}^{1} (1-t^{2})(1+t^{2})dt = \int_{-1}^{1} (1 - t^{4})dt = 2 - \frac{2}{5} = \frac{8}{5}.
\langle q,q\rangle = \int_{-1}^{1} (1+t^{2})^{2}dt = \int_{-1}^{1} (1+2t^{2}+t^{4})dt = 2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{56}{15}.

Passo 3

Definimos
u_{1}(t)=p(t)=1-t^{2},
e
u_{2}(t)=q(t)-\frac{\langle q,p\rangle}{\langle p,p\rangle}\,p(t) = (1+t^{2}) - \frac{\frac{8}{5}}{\frac{16}{15}}\,(1-t^{2}) = (1+t^{2}) - \tfrac{3}{2}(1-t^{2}).
Simplificando,
u_{2}(t) =1+t^{2}-\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}t^{2} =-\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{2}t^{2} =\tfrac{1}{2}(5t^{2}-1).
Como escala não afeta ortogonalidade, tomamos como segundo vetor
u_{2}(t)=5t^{2}-1.

Passo 4

Verifiquemos que \{u_{1},u_{2}\} é ortogonal e então projetemos s(t)=t^{3}. Note que u_{1} e u_{2} são funções pares enquanto s é ímpar, logo
\langle s,u_{1}\rangle =\int_{-1}^{1} t^{3}(1-t^{2})dt =0, \qquad \langle s,u_{2}\rangle =\int_{-1}^{1} t^{3}(5t^{2}-1)dt =0.
Como ambos os produtos internos são zero, a projeção de s em W é o polinômio nulo.

Resposta

(a) Uma base ortogonal de W é
\{\,1-t^{2},\;5t^{2}-1\}.
(b) O polinômio de W que melhor aproxima s(t)=t^{3} é o polinômio nulo.

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