Para que valores de a \in \mathbb{R} o sistema \left\{\begin{array}{l}a x+2 y+3 z=b_{1} \\\ a x+a y+4 z=b_{2} \\\ a x+a y+a z=b_{3}\end{array}\right. não terá três pivôs?
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} a x + 2y + 3z = b_{1},\\\ a x + a y + 4z = b_{2},\\\ a x + a y + a z = b_{3}, \end{cases}
e pede para quais valores de a\in\mathbb{R} ele não terá três pivôs. Isso ocorre quando a matriz de coeficientes deixa de ser invertível, ou seja, quando seu determinante é zero.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} a & 2 & 3\\\ a & a & 4\\\ a & a & a \end{pmatrix}
e vamos calcular \det(A).
Passo 3
Usando expansão de Laplace pela primeira linha,
\det(A) = a\det\!\begin{pmatrix}a & 4\\\ a & a\end{pmatrix} -2\det\!\begin{pmatrix}a & 4\\\ a & a\end{pmatrix} +3\det\!\begin{pmatrix}a & a\\\ a & a\end{pmatrix}.
Passo 4
Calculando cada menor e fatorando,
\det(A) = a\,(a\cdot a - 4\cdot a) -2\,(a\cdot a - 4\cdot a) +3\,(a\cdot a - a\cdot a) = \bigl(a-2\bigr)\,a\,(a-4).
Passo 5
O determinante anula-se exatamente quando
a\,(a-2)\,(a-4)=0,
ou seja, para a=0, a=2 ou a=4. Nesses casos a matriz não é invertível e faltam pivôs.