Considere o espaço vetorial V=\Re^{3}.
  • (a) Sejam u=(1,2,3), v=(2,5,7) e w=(1,3,5). Mostre que \{u, v, w\} é base de V.
  • (b) Encontre os coeficientes de (4,9,12) na base B, onde B=\{u, v, w\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\Re^{3} e os vetores
u=(1,2,3),\qquad v=(2,5,7),\qquad w=(1,3,5).
As perguntas são:
  • (a) Mostrar que \{u,v,w\} é base de V.
  • (b) Encontrar os coeficientes (os escalares) \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha u+\beta v+\gamma w=(4,9,12),
ou seja, determinar as coordenadas de (4,9,12) na base B=\{u,v,w\}.

Passo 2

O que significa ser uma base de \Re^{3}? Vou explicar passo a passo, sem pular nada:
  • Um conjunto de vetores é base de \Re^{3} se e somente se for linearmente independente e gerar (span) todo \Re^{3}.
  • Para exatamente três vetores em \Re^{3}, uma maneira prática é organizar os vetores como colunas de uma matriz A\in\Re^{3\times3}. Se \det(A)\neq0, então as colunas são linearmente independentes e, como são três vetores, também geram \Re^{3}. Logo são uma base.
  • Vou, portanto, montar a matriz cujas colunas são u,v,w e calcular o determinante. Se for diferente de zero, concluímos que é base.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são u,v,w:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 5 & 3\\[4pt] 3 & 7 & 5 \end{pmatrix}.
Agora calculo \det(A). Uso a expansão pela primeira linha (ou qualquer método de cálculo de determinante):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]7 & 5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]3 & 7\end{pmatrix}.
Calculo cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]7 & 5\end{pmatrix}=5\cdot5-3\cdot7=25-21=4,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}=2\cdot5-3\cdot3=10-9=1,
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]3 & 7\end{pmatrix}=2\cdot7-5\cdot3=14-15=-1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot4-2\cdot1+1\cdot(-1)=4-2-1=1.]

Passo 4

Como \det(A)=1\neq0, as colunas de A são linearmente independentes. Portanto \{u,v,w\} é um conjunto de três vetores linearmente independentes em \Re^{3}, logo é uma base de \Re^{3}. Assim a parte (a) está resolvida.

Passo 5

Agora (b): queremos encontrar \alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha u+\beta v+\gamma w=(4,9,12).
Escrevendo em coordenadas isso vira o sistema linear
\begin{cases} \alpha+2\beta+\gamma=4,\\[4pt] 2\alpha+5\beta+3\gamma=9,\\[4pt] 3\alpha+7\beta+5\gamma=12. \end{cases}
Em notação matricial é A\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]9\\[4pt]12\end{pmatrix}\]. Como \(\det(A)\neq0, o sistema tem única solução. Vou resolver por eliminação, passo a passo.]

Passo 6

Começo pela primeira equação:
\alpha+2\beta+\gamma=4. \tag{1}
Usarei (1) para eliminar [\alpha) das outras equações.
Subtraio 2\times(1) da segunda equação:
(2\alpha+5\beta+3\gamma)-2(\alpha+2\beta+\gamma)=9-2\cdot4,
que dá
0\alpha+(5-4)\beta+(3-2)\gamma=9-8,
ou seja
\beta+\gamma=1. \tag{4}
Subtraio 3\times(1) da terceira equação:
(3\alpha+7\beta+5\gamma)-3(\alpha+2\beta+\gamma)=12-3\cdot4,
que dá
0\alpha+(7-6)\beta+(5-3)\gamma=12-12,
ou seja
\beta+2\gamma=0. \tag{5}
Agora resolvo o sistema formado por (4) e (5):
\begin{cases} \beta+\gamma=1,\\[4pt] \beta+2\gamma=0. \end{cases}
Subtraindo (4) de (5) obtenho
(\beta+2\gamma)-(\beta+\gamma)=0-1 \quad\Rightarrow\quad \gamma=-1.
Com \gamma=-1\] em (4): \[\beta+(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad \beta=2.\] Finalmente, uso (1) para \(\alpha:
\alpha+2\cdot 2+(-1)=4 \quad\Rightarrow\quad \alpha+4-1=4 \quad\Rightarrow\quad \alpha+3=4,
portanto
\alpha=1.]

Passo 7

Checagem rápida (substituir de volta na terceira equação):
3\alpha+7\beta+5\gamma=3\cdot1+7\cdot2+5\cdot(-1)=3+14-5=12,
confere com o termo direito. Logo a solução está correta.

Resposta

(a) Sim: \{u,v,w\} é base de \Re^{3} pois \det(A)=1\neq0.
(b) As coordenadas de (4,9,12) na base B são (\alpha,\beta,\gamma)=(1,2,-1).

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