(a) Sejam u=(1,2,3), v=(2,5,7) e w=(1,3,5). Mostre que \{u, v, w\} é base de V.
(b) Encontre os coeficientes de (4,9,12) na base B, onde B=\{u, v, w\}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=\Re^{3} e os vetores
u=(1,2,3),\qquad v=(2,5,7),\qquad w=(1,3,5).
As perguntas são:
(a) Mostrar que \{u,v,w\} é base de V.
(b) Encontrar os coeficientes (os escalares) \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha u+\beta v+\gamma w=(4,9,12),
ou seja, determinar as coordenadas de (4,9,12) na base B=\{u,v,w\}.
Passo 2
O que significa ser uma base de \Re^{3}? Vou explicar passo a passo, sem pular nada:
Um conjunto de vetores é base de \Re^{3} se e somente se for linearmente independente e gerar (span) todo \Re^{3}.
Para exatamente três vetores em \Re^{3}, uma maneira prática é organizar os vetores como colunas de uma matriz A\in\Re^{3\times3}. Se \det(A)\neq0, então as colunas são linearmente independentes e, como são três vetores, também geram \Re^{3}. Logo são uma base.
Vou, portanto, montar a matriz cujas colunas são u,v,w e calcular o determinante. Se for diferente de zero, concluímos que é base.
Como \det(A)=1\neq0, as colunas de A são linearmente independentes. Portanto \{u,v,w\} é um conjunto de três vetores linearmente independentes em \Re^{3}, logo é uma base de \Re^{3}. Assim a parte (a) está resolvida.
Passo 5
Agora (b): queremos encontrar \alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha u+\beta v+\gamma w=(4,9,12).
Escrevendo em coordenadas isso vira o sistema linear
Em notação matricial é A\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]9\\[4pt]12\end{pmatrix}\]. Como \(\det(A)\neq0, o sistema tem única solução. Vou resolver por eliminação, passo a passo.]
Passo 6
Começo pela primeira equação:
\alpha+2\beta+\gamma=4. \tag{1}
Usarei (1) para eliminar [\alpha) das outras equações.