Seja V=P_{2}(\Re) o espaço vetorial de polinômios reais de grau menor ou igual a 2 . Mostre que S =\left\{p=a t^{2}+b t+c: a=b=c\right\} (subconjunto dos polinômios com todos os coeficientes iguais) é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Espaço vetorial: V = P_{2}(\Re), ou seja, o conjunto de todos os polinômios reais de grau menor ou igual a 2. Um elemento genérico de V é \,p(t)=a t^{2}+b t+c com a,b,c\in\Re.
  • Subconjunto S definido por
S=\left\{p(t)=a t^{2}+b t+c \in V : a=b=c\right\}.
Isto é, S é o conjunto dos polinômios de grau \le 2 cujos três coeficientes são iguais.
  • O que o exercício pede: mostrar que S é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Todo p\in S pode ser escrito com um único parâmetro a como \,p(t)=a t^{2}+a t+a.
  • Não há imagens ou dados externos além do enunciado.

Passo 2

Lembrete (definição e critério que vamos usar).
  • Definição prática: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
    1. W é não vazio (ou contém o vetor zero de V);
    2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e k\in\Re então k u\in W.
Explicando esse critério de forma didática:
  • “Não vazio” serve para eliminar conjuntos vazios; na prática basta mostrar que o polinômio zero pertence a W.
  • “Fechado sob soma” quer dizer: somando dois vetores do conjunto não saímos do conjunto. Para polinômios, isso significa somar coeficiente a coeficiente e verificar a condição do subconjunto.
  • “Fechado sob multiplicação escalar” quer dizer: multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real resulta em um vetor que ainda satisfaz as restrições do subconjunto.
Vou usar exatamente esse critério (três propriedades) porque é o método básico e direto para este tipo de problema.

Passo 3

Mostrar que S não é vazio (contém o polinômio zero).
  • O polinômio zero em V é \,0(t)=0\cdot t^{2}+0\cdot t+0.
  • Como os coeficientes são todos iguais ( 0=0=0), o polinômio zero verifica a condição a=b=c.
  • Logo \,0(t)\in S.
    Comentário didático: sempre que um conjunto fechado para operações lineares contém o vetor zero, isso já mostra que não é vazio; é um passo rápido, e para polinômios é trivial verificar.

Passo 4

Mostrar que S é fechado sob soma.
  • Tome dois polinômios quaisquer de S. Pelo enunciado, existem a,b\in\Re tais que
p_{1}(t)=a t^{2}+a t+a,\qquad p_{2}(t)=b t^{2}+b t+b.
  • Some p_{1} e p_{2} termo a termo:
p_{1}(t)+p_{2}(t)=(a+b)t^{2}+(a+b)t+(a+b).
  • Observe que os três coeficientes do polinômio p_{1}+p_{2} são iguais e valem a+b. Portanto p_{1}+p_{2} satisfaz a condição a=b=c e assim pertence a S.
  • Conclusão deste passo: para quaisquer p_{1},p_{2}\in S vale p_{1}+p_{2}\in S. Ou seja, S é fechado sob soma.
Didática extra (intuição): escrever os polinômios como múltiplos de uma única forma facilita ver a propriedade; aqui p_{1}=a\,(t^{2}+t+1) e p_{2}=b\,(t^{2}+t+1), então a soma é (a+b)(t^{2}+t+1), que tem a mesma “estrutura”.

Passo 5

Mostrar que S é fechado sob multiplicação escalar.
  • Tome p(t)\in S. Então existe a\in\Re com
p(t)=a t^{2}+a t+a = a\,(t^{2}+t+1).
  • Seja k\in\Re um escalar qualquer. Multiplicando:
k\cdot p(t)=k\bigl(a t^{2}+a t+a\bigr)=(k a)t^{2}+(k a)t+(k a).
  • Os três coeficientes de k\cdot p são iguais e valem k a. Assim k\cdot p\in S.
  • Conclusão deste passo: para qualquer p\in S e qualquer k\in\Re vale k p\in S. Ou seja, S é fechado sob multiplicação escalar.
Didática extra: isto mostra que a propriedade “todos os coeficientes iguais” é preservada por multiplicação por escalares — porque o escalar multiplica todos os coeficientes da mesma forma.

Passo 6

Conclusão principal — S é subespaço de V.
  • Reunindo os resultados: S contém o polinômio zero (não vazio), é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.
  • Pelas condições do critério de subespaço, isso implica que S é um subespaço vetorial de V.
Observação adicional útil (não pedida, mas didática): descrição mais compacta de S e sua dimensão.
  • Cada p\in S pode ser escrito como p(t)=a\,(t^{2}+t+1) com a\in\Re. Logo
S=\operatorname{span}\{\,t^{2}+t+1\,\}.
  • Assim S é o subespaço gerado por um único vetor; portanto \dim S=1 e \{\,t^{2}+t+1\,\} é uma base de S.

Resposta

S é subespaço vetorial de V.
S=\operatorname{span}\{\,t^{2}+t+1\,\} e \dim S=1.

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