Seja
o espaço vetorial de polinômios reais de grau menor ou igual a 2 . Mostre que
(subconjunto dos polinômios com todos os coeficientes iguais) é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Espaço vetorial:
, ou seja, o conjunto de todos os polinômios reais de grau menor ou igual a . Um elemento genérico de é com . - Subconjunto
definido por
Isto é,
é o conjunto dos polinômios de grau
cujos três coeficientes são iguais.
- O que o exercício pede: mostrar que
é um subespaço vetorial de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Todo
pode ser escrito com um único parâmetro como . - Não há imagens ou dados externos além do enunciado.
Passo 2
Lembrete (definição e critério que vamos usar).
- Definição prática: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se: -
é não vazio (ou contém o vetor zero de ); -
é fechado sob soma: se e então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
-
Explicando esse critério de forma didática:
- “Não vazio” serve para eliminar conjuntos vazios; na prática basta mostrar que o polinômio zero pertence a
. - “Fechado sob soma” quer dizer: somando dois vetores do conjunto não saímos do conjunto. Para polinômios, isso significa somar coeficiente a coeficiente e verificar a condição do subconjunto.
- “Fechado sob multiplicação escalar” quer dizer: multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real resulta em um vetor que ainda satisfaz as restrições do subconjunto.
Vou usar exatamente esse critério (três propriedades) porque é o método básico e direto para este tipo de problema.
Passo 3
Mostrar que
não é vazio (contém o polinômio zero).
- O polinômio zero em
é . - Como os coeficientes são todos iguais (
), o polinômio zero verifica a condição . - Logo
.
Comentário didático: sempre que um conjunto fechado para operações lineares contém o vetor zero, isso já mostra que não é vazio; é um passo rápido, e para polinômios é trivial verificar.
Passo 4
Mostrar que
é fechado sob soma.
- Tome dois polinômios quaisquer de
. Pelo enunciado, existem tais que
- Some
e termo a termo:
- Observe que os três coeficientes do polinômio
são iguais e valem . Portanto satisfaz a condição e assim pertence a . - Conclusão deste passo: para quaisquer
vale . Ou seja, é fechado sob soma.
Didática extra (intuição): escrever os polinômios como múltiplos de uma única forma facilita ver a propriedade; aqui
e
, então a soma é
, que tem a mesma “estrutura”.
Passo 5
Mostrar que
é fechado sob multiplicação escalar.
- Tome
. Então existe com
- Seja
um escalar qualquer. Multiplicando:
- Os três coeficientes de
são iguais e valem . Assim . - Conclusão deste passo: para qualquer
e qualquer vale . Ou seja, é fechado sob multiplicação escalar.
Didática extra: isto mostra que a propriedade “todos os coeficientes iguais” é preservada por multiplicação por escalares — porque o escalar multiplica todos os coeficientes da mesma forma.
Passo 6
Conclusão principal —
é subespaço de
.
- Reunindo os resultados:
contém o polinômio zero (não vazio), é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar. - Pelas condições do critério de subespaço, isso implica que
é um subespaço vetorial de .
Observação adicional útil (não pedida, mas didática): descrição mais compacta de
e sua dimensão.
- Cada
pode ser escrito como com . Logo
- Assim
é o subespaço gerado por um único vetor; portanto e é uma base de .