Considere o produto interno a seguir em \mathbb{R}^{2} :
\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) \cdot\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+2 \mathrm{x}_{1} \mathrm{y}_{2}+2 \mathrm{y}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}
Mostre que, com este produto interno, o conjunto \{(1,0),(2,-1)\} é uma base ortogonal de \mathrm{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece o produto interno em \mathbb{R}^2
\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)\cdot\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}\mathrm{x}_{2}+2\mathrm{x}_{1}\mathrm{y}_{2}+2\mathrm{y}_{1}\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1}\mathrm{y}_{2}
e o conjunto de vetores \{(1,0),(2,-1)\}.
O que o problema pede: mostrar que esse conjunto é uma base ortogonal de \mathbb{R}^2. Ou seja, preciso mostrar duas coisas:
  • que os vetores são ortogonais entre si segundo o produto interno dado (produto interno igual a zero);
  • que formam uma base de \mathbb{R}^2 (ou seja, são linearmente independentes e, por terem dois vetores em \mathbb{R}^2, geram todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Definição usada: dois vetores u e v são ortogonais relativamente a um produto interno se o produto interno \langle u,v\rangle for igual a 0. Vou aplicar isso aos vetores (1,0) e (2,-1).
Calculemos passo a passo \langle(1,0),(2,-1)\rangle. Tomando \mathrm{x}_{1}=1,\\ \mathrm{y}_{1}=0,\\ \mathrm{x}_{2}=2,\\ \mathrm{y}_{2}=-1, cada termo é:
\mathrm{x}_{1}\mathrm{x}_{2}=1\cdot2=2,
2\mathrm{x}_{1}\mathrm{y}_{2}=2\cdot1\cdot(-1)=-2,
2\mathrm{y}_{1}\mathrm{x}_{2}=2\cdot0\cdot2=0,
\mathrm{y}_{1}\mathrm{y}_{2}=0\cdot(-1)=0.
Somando os termos:
\langle(1,0),(2,-1)\rangle = 2 + (-2) + 0 + 0 = 0.
Como o produto interno entre os dois vetores é 0, eles são ortogonais segundo o produto interno dado.

Passo 3

Agora mostrar que os vetores formam uma base (isto é, são linearmente independentes). Explico o conceito: dois vetores em \mathbb{R}^2\) são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (coeficientes todos zero). Vou resolver a equação \[a(1,0)+b(2,-1)=(0,0)
para mostrar que a=b=0.
Escrevendo componentes, obtemos o sistema
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] 0 - b=0. \end{cases}
Da segunda equação vem -b=0 \Rightarrow b=0\]. Substituindo na primeira, \(a+2\cdot 0=0 \Rightarrow a=0. Logo a única solução é a=b=0, portanto os vetores são linearmente independentes.
Observação prática (atalho comum): a matriz cujas colunas são (1,0) e (2,-1) é
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
cujo determinante é 1\cdot(-1)-2\cdot0=-1\neq 0. Determinante diferente de zero confirma linearidade independente (e hence base em \mathbb{R}^2).]

Passo 4

Conclusão final dos passos: os vetores (1,0) e (2,-1) são ortogonais (Passo 2) e são linearmente independentes (Passo 3). Em \mathbb{R}^2, dois vetores linearmente independentes geram todo o espaço, portanto formam uma base. Assim, o conjunto é uma base ortogonal de \mathbb{R}^2.

Resposta

O conjunto \{(1,0),(2,-1)\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{2}.

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