Considere o produto interno a seguir em
:
Mostre que, com este produto interno, o conjunto
é uma base ortogonal de
.
Mostre que, com este produto interno, o conjunto
Passo 1
O enunciado fornece o produto interno em
e o conjunto de vetores
.
O que o problema pede: mostrar que esse conjunto é uma base ortogonal de . Ou seja, preciso mostrar duas coisas:
O que o problema pede: mostrar que esse conjunto é uma base ortogonal de
- que os vetores são ortogonais entre si segundo o produto interno dado (produto interno igual a zero);
- que formam uma base de
(ou seja, são linearmente independentes e, por terem dois vetores em , geram todo ).
Passo 2
Definição usada: dois vetores
e
são ortogonais relativamente a um produto interno se o produto interno
for igual a
. Vou aplicar isso aos vetores
e
.
Calculemos passo a passo
. Tomando
, cada termo é:
Somando os termos:
Como o produto interno entre os dois vetores é
, eles são ortogonais segundo o produto interno dado.
Passo 3
Agora mostrar que os vetores formam uma base (isto é, são linearmente independentes). Explico o conceito: dois vetores em
para mostrar que
.
Escrevendo componentes, obtemos o sistema
Da segunda equação vem
. Logo a única solução é
, portanto os vetores são linearmente independentes.
Observação prática (atalho comum): a matriz cujas colunas são
e
é
cujo determinante é
. Determinante diferente de zero confirma linearidade independente (e hence base em
).]
Passo 4
Conclusão final dos passos: os vetores
e
são ortogonais (Passo 2) e são linearmente independentes (Passo 3). Em
, dois vetores linearmente independentes geram todo o espaço, portanto formam uma base. Assim, o conjunto é uma base ortogonal de
.
Resposta
O conjunto
é uma base ortogonal de
.