Considere o espaço vetorial
e os dois subespaços vetoriais abaixo:
Sabendo que
e
são subespaços vetoriais de
, analise os conjuntos formados por operações entre eles e responda:
Considere o conjunto união
. Prove que ele não é subespaço vetorial de
.
Considere o conjunto união
Passo 1
O enunciado nos dá os subespaços de
:
A pergunta que devemos responder é: o conjunto união
é um subespaço vetorial de
? Devemos provar que não (ou, se fosse o caso, provar que sim). Vou listar também informações úteis que já temos:
-
e são subespaços de (dado). - O vetor nulo
pertence a ambos e . - Para mostrar que um conjunto não é subespaço basta mostrar que falha em alguma das propriedades: estar não-vazio, fechamento sob adição ou fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrete (com explicação didática) do que significa ser subespaço vetorial:
- Um subconjunto
é subespaço se satisfaz três propriedades (mas, como já sabemos que os são subespaços, não precisamos provar não-vazio): -
contém o vetor zero . -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
-
- Para provar que
não é subespaço, é suficiente encontrar um exemplo que viole qualquer uma das propriedades 2 ou 3. A propriedade 1 já é satisfeita porque .
Passo 3
Estratégia prática e escolha de um contraexemplo: vou tentar a propriedade de fechamento sob adição. Escolho um vetor não-nulo em cada subespaço, um em
que não esteja em
e outro em
que não esteja em
. Vetores convenientes:
Verifico que cada um pertence ao subespaço correspondente:
- Para
: na definição de requer-se . Aqui e . Logo . - Para
: na definição de requer-se . Aqui e . Logo .
Passo 4
Calculo a soma e verifico se ela permanece na união:
Agora verifico se
pertence a
ou a
:
- Para pertencer a
precisaria valer . Aqui e . Como , . - Para pertencer a
precisaria valer . Aqui e . Como , .
Portanto
apesar de
e
. Isso mostra que
não é fechado sob adição.
Passo 5
Interpretação final do que encontramos (didática curta): como o fechamento sob adição falha, o conjunto
não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial. Uma observação útil e geral: a união de dois subespaços só é subespaço quando um dos subespaços está contido no outro; no nosso caso
e
, então a união não pode ser subespaço.