Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os dois subespaços vetoriais abaixo:
\begin{aligned} W_{1} & =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=2 x\right\} \\\ W_{2} & =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=-x\right\} \end{aligned}
Sabendo que W_{1} e W_{2} são subespaços vetoriais de V, analise os conjuntos formados por operações entre eles e responda:
Considere o conjunto união W_{1} \cup W_{2}. Prove que ele não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá os subespaços de \mathbb{R}^{2}:
W_{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=2x\}, \qquad W_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=-x\}.
A pergunta que devemos responder é: o conjunto união W_{1}\cup W_{2} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}? Devemos provar que não (ou, se fosse o caso, provar que sim). Vou listar também informações úteis que já temos:
  • W_{1} e W_{2} são subespaços de \mathbb{R}^{2} (dado).
  • O vetor nulo (0,0) pertence a ambos W_{1} e W_{2}.
  • Para mostrar que um conjunto não é subespaço basta mostrar que falha em alguma das propriedades: estar não-vazio, fechamento sob adição ou fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrete (com explicação didática) do que significa ser subespaço vetorial:
  • Um subconjunto U\subseteq\mathbb{R}^{2} é subespaço se satisfaz três propriedades (mas, como já sabemos que os W_i são subespaços, não precisamos provar não-vazio):
    1. U contém o vetor zero (0,0).
    2. U é fechado sob adição: se u\in U e v\in U, então u+v\in U.
    3. U é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in U e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in U.
  • Para provar que W_{1}\cup W_{2} não é subespaço, é suficiente encontrar um exemplo que viole qualquer uma das propriedades 2 ou 3. A propriedade 1 já é satisfeita porque (0,0)\in W_{1}\cap W_{2}.

Passo 3

Estratégia prática e escolha de um contraexemplo: vou tentar a propriedade de fechamento sob adição. Escolho um vetor não-nulo em cada subespaço, um em W_{1} que não esteja em W_{2} e outro em W_{2} que não esteja em W_{1}. Vetores convenientes:
u=(1,2)\quad\text{e}\quad v=(1,-1).
Verifico que cada um pertence ao subespaço correspondente:
  • Para u=(1,2): na definição de W_{1} requer-se y=2x. Aqui y=2 e 2x=2\cdot1=2. Logo u\in W_{1}.
  • Para v=(1,-1): na definição de W_{2} requer-se y=-x. Aqui y=-1 e -x=-1\cdot1=-1. Logo v\in W_{2}.

Passo 4

Calculo a soma e verifico se ela permanece na união:
u+v=(1,2)+(1,-1)=(2,1).
Agora verifico se (2,1) pertence a W_{1} ou a W_{2}:
  • Para pertencer a W_{1} precisaria valer y=2x. Aqui y=1 e 2x=2\cdot2=4. Como 1\neq4, (2,1)\notin W_{1}.
  • Para pertencer a W_{2} precisaria valer y=-x. Aqui y=1 e -x=-2. Como 1\neq-2, (2,1)\notin W_{2}.
Portanto (2,1)\notin W_{1}\cup W_{2} apesar de u\in W_{1} e v\in W_{2}. Isso mostra que W_{1}\cup W_{2} não é fechado sob adição.

Passo 5

Interpretação final do que encontramos (didática curta): como o fechamento sob adição falha, o conjunto W_{1}\cup W_{2} não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial. Uma observação útil e geral: a união de dois subespaços só é subespaço quando um dos subespaços está contido no outro; no nosso caso W_{1}\not\subseteq W_{2} e W_{2}\not\subseteq W_{1}, então a união não pode ser subespaço.

Resposta

W_{1}\cup W_{2} não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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