Seja
o conjunto de todas as funções
que assumem apenas valores estritamente positivos, ou seja,
.
Neste conjunto, definimos duas operações não usuais:
(i) Adição vetorial
: A soma de duas funções
é definida como o produto usual de suas imagens:
(ii) Multiplicação por escalar ( ⋅ ): A multiplicação de uma função
por um escalar real
é definida como a potência usual:
O objetivo desta questão é mostrar que
tem 3 das propriedades de espaço vetorial. (De fato é um espaço vetorial, mas não quero que provem todas as propriedades).
a) Determine quem é o vetor nulo (elemento neutro da adição) deste espaço vetorial
.
b) Dada uma função genérica
, determine quem é o seu vetor oposto (inverso aditivo) neste espaço.
c) Mostre a propriedade distributiva. Ou seja, prove que para quaisquer
e
:
(i) Adição vetorial
a) Determine quem é o vetor nulo (elemento neutro da adição) deste espaço vetorial
b) Dada uma função genérica
c) Mostre a propriedade distributiva. Ou seja, prove que para quaisquer
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define duas operações:
- adição
por ; - multiplicação por escalar
por , para .
O que o exercício pede:
a) Encontrar o vetor nulo (elemento neutro da adição ) em
.
b) Para uma função genérica , determinar o seu oposto aditivo (inverso em relação a
).
c) Mostrar a propriedade distributiva pedida, ou seja, provar que para quaisquer e
vale
a) Encontrar o vetor nulo (elemento neutro da adição
b) Para uma função genérica
c) Mostrar a propriedade distributiva pedida, ou seja, provar que para quaisquer
Passo 2
O que é “vetor nulo” aqui? É um elemento
tal que, para toda
,
Escrevendo isso ponto a ponto, para cada
deve valer
mas por definição
. Assim precisamos de uma função
que satisfaça
Agora vamos resolver essa igualdade para
.
Passo 3
Resolver
ponto a ponto. Como
para todo
, podemos dividir por
sem problema e obtemos
Logo a função constante
definida por
para todo
satisfaz a condição. Verificação final de que
: para todo
tem-se
, então
pertence a
. Portanto o vetor nulo é a função constante igual a
.
Passo 4
Agora o oposto aditivo de uma função
é uma função
tal que
onde
é o vetor nulo que encontramos. Ponto a ponto isso significa
Pela definição de
,
Resolvendo essa igualdade para
dá
Como
, temos
e, portanto,
. Concluímos que o oposto aditivo de
é a função
dada por
. Note que essa função é única ponto a ponto.
Passo 5
Agora vamos provar a propriedade distributiva pedida. Quero mostrar que, para quaisquer
e todo
,
Lembrete útil (regra de potência): para qualquer número real
e qualquer base positiva
vale a identidade de expoentes
Uma maneira clara de ver isso é usar logaritmos/exponenciais:
, então
. Aqui é essencial que
, caso contrário o logaritmo real não está definido.
Passo 6
Prova ponto a ponto da igualdade. Tome um
qualquer. Calcule o lado esquerdo no ponto
:
Calcule o lado direito no ponto
:
Usando a regra de potências do Passo 5 com
, obtemos
Logo, para o
escolhido, os valores dos dois lados coincidem. Como isso vale para todo
, concluímos que as duas funções são iguais em todo o domínio, ou seja,
Passo 7
Resumo e garantia de legitimidade das operações: em todos os passos usei apenas operações ponto a ponto (produto e potência de números reais positivos). A condição
garante que potências com expoentes reais são bem definidas e que as inversas
também são positivas, mantendo-nos dentro de
.
Resposta
(a) A função nula é a função constante
definida por
para todo
.
(b) O oposto aditivo de
é a função
dada por
para todo
.
(c) A identidade distributiva vale, isto é, para quaisquer
e
,