Seja V o conjunto de todas as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que assumem apenas valores estritamente positivos, ou seja, V=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\}.
Neste conjunto, definimos duas operações não usuais:
(i) Adição vetorial (\oplus) : A soma de duas funções f, g \in V é definida como o produto usual de suas imagens:
(f \oplus g)(x)=f(x) \cdot g(x)
(ii) Multiplicação por escalar ( ⋅ ): A multiplicação de uma função f \in V por um escalar real \alpha \in \mathbb{R} é definida como a potência usual:
(\alpha \odot f)(x)=(f(x))^{\alpha}
O objetivo desta questão é mostrar que (V, \oplus, \odot) tem 3 das propriedades de espaço vetorial. (De fato é um espaço vetorial, mas não quero que provem todas as propriedades).
a) Determine quem é o vetor nulo (elemento neutro da adição) deste espaço vetorial V.
b) Dada uma função genérica f \in V, determine quem é o seu vetor oposto (inverso aditivo) neste espaço.
c) Mostre a propriedade distributiva. Ou seja, prove que para quaisquer \alpha, \beta \in \mathbb{R} e f \in V :
(\alpha+\beta) \odot f=(\alpha \odot f) \oplus(\beta \odot f)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(x)>0,\\ \forall x\} e define duas operações:
  • adição \oplus por (f\oplus g)(x)=f(x)\cdot g(x);
  • multiplicação por escalar \odot por (\alpha\odot f)(x)=(f(x))^{\alpha}, para \alpha\in\mathbb{R}.
O que o exercício pede:
a) Encontrar o vetor nulo (elemento neutro da adição \oplus) em V.
b) Para uma função genérica f\in V, determinar o seu oposto aditivo (inverso em relação a \oplus).
c) Mostrar a propriedade distributiva pedida, ou seja, provar que para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f\in V vale
(\alpha+\beta)\odot f=(\alpha\odot f)\oplus(\beta\odot f).

Passo 2

O que é “vetor nulo” aqui? É um elemento e\in V tal que, para toda f\in V,
f\oplus e=f.
Escrevendo isso ponto a ponto, para cada x\in\mathbb{R} deve valer
(f\oplus e)(x)=f(x),
mas por definição (f\oplus e)(x)=f(x)\cdot e(x). Assim precisamos de uma função e que satisfaça
f(x)\cdot e(x)=f(x),\quad\forall x.
Agora vamos resolver essa igualdade para e(x).

Passo 3

Resolver f(x)\cdot e(x)=f(x) ponto a ponto. Como f(x)>0 para todo x, podemos dividir por f(x) sem problema e obtemos
e(x)=1,\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Logo a função constante e definida por e(x)=1 para todo x satisfaz a condição. Verificação final de que e\in V: para todo x tem-se e(x)=1>0, então e pertence a V. Portanto o vetor nulo é a função constante igual a 1.

Passo 4

Agora o oposto aditivo de uma função f\in V é uma função g\in V tal que
f\oplus g = e,
onde e é o vetor nulo que encontramos. Ponto a ponto isso significa
(f\oplus g)(x)=e(x)=1.
Pela definição de \oplus,
f(x)\cdot g(x)=1,\quad\forall x.
Resolvendo essa igualdade para g(x)
g(x)=\frac{1}{f(x)},\quad\forall x.
Como f(x)>0, temos g(x)>0 e, portanto, g\in V. Concluímos que o oposto aditivo de f é a função g dada por g(x)=1/f(x). Note que essa função é única ponto a ponto.

Passo 5

Agora vamos provar a propriedade distributiva pedida. Quero mostrar que, para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} e todo f\in V,
(\alpha+\beta)\odot f=(\alpha\odot f)\oplus(\beta\odot f).
Lembrete útil (regra de potência): para qualquer número real \alpha,\beta e qualquer base positiva a>0 vale a identidade de expoentes
a^{\alpha+\beta}=a^{\alpha}\cdot a^{\beta}.
Uma maneira clara de ver isso é usar logaritmos/exponenciais: a^{\alpha}=e^{\alpha\ln a}, então a^{\alpha+\beta}=e^{(\alpha+\beta)\ln a}=e^{\alpha\ln a}e^{\beta\ln a}=a^{\alpha}a^{\beta}. Aqui é essencial que a>0, caso contrário o logaritmo real não está definido.

Passo 6

Prova ponto a ponto da igualdade. Tome um x\in\mathbb{R} qualquer. Calcule o lado esquerdo no ponto x:
\bigl((\alpha+\beta)\odot f\bigr)(x)=(f(x))^{\alpha+\beta}.
Calcule o lado direito no ponto x:
\bigl((\alpha\odot f)\oplus(\beta\odot f)\bigr)(x)=(\alpha\odot f)(x)\cdot(\beta\odot f)(x)=(f(x))^{\alpha}\cdot (f(x))^{\beta}.
Usando a regra de potências do Passo 5 com a=f(x)>0, obtemos
(f(x))^{\alpha+\beta}=(f(x))^{\alpha}\cdot(f(x))^{\beta}.
Logo, para o x escolhido, os valores dos dois lados coincidem. Como isso vale para todo x\in\mathbb{R}, concluímos que as duas funções são iguais em todo o domínio, ou seja,
(\alpha+\beta)\odot f=(\alpha\odot f)\oplus(\beta\odot f).

Passo 7

Resumo e garantia de legitimidade das operações: em todos os passos usei apenas operações ponto a ponto (produto e potência de números reais positivos). A condição f(x)>0 garante que potências com expoentes reais são bem definidas e que as inversas 1/f(x) também são positivas, mantendo-nos dentro de V.

Resposta

(a) A função nula é a função constante e definida por e(x)=1 para todo x\in\mathbb{R}.
(b) O oposto aditivo de f é a função g dada por g(x)=\dfrac{1}{f(x)} para todo x\in\mathbb{R}.
(c) A identidade distributiva vale, isto é, para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f\in V,
(\alpha+\beta)\odot f=(\alpha\odot f)\oplus(\beta\odot f).

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