Considere o espaço vetorial
e os dois subespaços vetoriais abaixo:
Sabendo que
e
são subespaços vetoriais de
, analise os conjuntos formados por operações entre eles e responda:
Determine o conjunto resultante da interseção
. Este conjunto é um subespaço vetorial de
? Justifique sua resposta.
Determine o conjunto resultante da interseção
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e os dois subespaços
As perguntas são:
- Determinar o conjunto
(a interseção dos dois subespaços). - Dizer se esse conjunto é um subespaço vetorial de
e justificar.
Passo 2
Lembrando o que significa interseção:
Logo um vetor
pertence a
exatamente quando satisfaz simultaneamente as duas equações que definem
e
, isto é quando
Passo 3
Para encontrar os vetores que satisfazem ambas as equações, igualamos os dois lados:
Resolvendo:
Substituindo em
(ou em
):
Portanto o único vetor que satisfaz ambas as equações é
. Concluímos que
Passo 4
Agora vamos lembrar a definição prática de subespaço vetorial: um subconjunto
é subespaço se (i) é não vazio (em particular costuma-se exigir que contenha o vetor zero), (ii) é fechado sob soma: se
então
, e (iii) é fechado sob multiplicação escalar: se
e
então
. Se essas três propriedades valem,
é subespaço.
Passo 5
Verificamos as propriedades para o conjunto
.
-
Não vazio e contém o vetor zero: claramente
. -
Fechamento sob soma: tome
e ambos em . Então
- Fechamento sob multiplicação escalar: tome
e . Então
Como todas as propriedades são satisfeitas,
é um subespaço de
.
Passo 6
Comentário adicional (útil para provas): de forma geral, a interseção de quaisquer subespaços de um espaço vetorial é sempre um subespaço. A razão é exatamente a verificação de fechamento: se um vetor pertence à interseção, ele pertence a todos os subespaços envolvidos, então soma e multiplicação escalar ficam em cada subespaço e, portanto, na interseção. No nosso caso a interseção ficou reduzida ao subespaço trivial
.
Resposta
Sim.