Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os dois subespaços vetoriais abaixo:
\begin{aligned} W_{1} & =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=2 x\right\} \\\ W_{2} & =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=-x\right\} \end{aligned}
Sabendo que W_{1} e W_{2} são subespaços vetoriais de V, analise os conjuntos formados por operações entre eles e responda:
Determine o conjunto resultante da interseção W_{1} \cap W_{2}. Este conjunto é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os dois subespaços
W_{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=2x\}, \qquad W_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=-x\}.
As perguntas são:
  1. Determinar o conjunto W_{1}\cap W_{2} (a interseção dos dois subespaços).
  2. Dizer se esse conjunto é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2} e justificar.

Passo 2

Lembrando o que significa interseção:
W_{1}\cap W_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid (x,y)\in W_{1}\\ \text{e}\\ (x,y)\in W_{2}\}.
Logo um vetor (x,y) pertence a W_{1}\cap W_{2} exatamente quando satisfaz simultaneamente as duas equações que definem W_{1} e W_{2}, isto é quando
y=2x \qquad\text{e}\qquad y=-x.

Passo 3

Para encontrar os vetores que satisfazem ambas as equações, igualamos os dois lados:
2x = -x.
Resolvendo:
3x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Substituindo em y=2x (ou em y=-x):
y=2\cdot 0=0.
Portanto o único vetor que satisfaz ambas as equações é (0,0). Concluímos que
W_{1}\cap W_{2}=\{(0,0)\}.

Passo 4

Agora vamos lembrar a definição prática de subespaço vetorial: um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^{2} é subespaço se (i) é não vazio (em particular costuma-se exigir que contenha o vetor zero), (ii) é fechado sob soma: se u,v\in S então u+v\in S, e (iii) é fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S. Se essas três propriedades valem, S é subespaço.

Passo 5

Verificamos as propriedades para o conjunto \{(0,0)\}.
  • Não vazio e contém o vetor zero: claramente (0,0)\in\{(0,0)\}.
  • Fechamento sob soma: tome u=(0,0) e v=(0,0) ambos em \{(0,0)\}. Então
u+v=(0,0)+(0,0)=(0,0)\in\{(0,0)\}.
  • Fechamento sob multiplicação escalar: tome \alpha\in\mathbb{R} e u=(0,0). Então
\alpha u=\alpha(0,0)=(0,0)\in\{(0,0)\}.
Como todas as propriedades são satisfeitas, \{(0,0)\} é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Comentário adicional (útil para provas): de forma geral, a interseção de quaisquer subespaços de um espaço vetorial é sempre um subespaço. A razão é exatamente a verificação de fechamento: se um vetor pertence à interseção, ele pertence a todos os subespaços envolvidos, então soma e multiplicação escalar ficam em cada subespaço e, portanto, na interseção. No nosso caso a interseção ficou reduzida ao subespaço trivial \{(0,0)\}.

Resposta

W_{1}\cap W_{2}=\{(0,0)\}
Sim. W_{1}\cap W_{2} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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