Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em \mathbb{R}^{2} : Base B=\{(1,1),(1,-1)\} e Canônica C. Encontre a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Espaço vetorial: \mathbb{R}^{2}.
  • Base B=\{(1,1),(1,-1)\}.
  • Base canônica C (isto é, C=\{(1,0),(0,1)\}).
    O que se pede: encontrar a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}.

Passo 2

O que significa [I]_{C}^{B}?
  • Considere a aplicação identidade I:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}.
  • A notação [I]_{C}^{B} indica a matriz da aplicação I cujas coordenadas de entrada são relativas à base B (coluna) e cujas coordenadas de saída são relativas à base C (linha).
  • Em termos práticos: as colunas de [I]_{C}^{B} são as coordenadas, na base canônica C, dos vetores da base B, colocadas na mesma ordem dos vetores em B.

Passo 3

Calcular as coordenadas dos vetores de B relativas à base canônica C.
  • O primeiro vetor de B é v_{1}=(1,1). As coordenadas de v_{1} na base canônica são simplesmente
[v_{1}]_{C}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • O segundo vetor de B é v_{2}=(1,-1). As coordenadas de v_{2} na base canônica são
[v_{2}]_{C}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montar a matriz [I]_{C}^{B} colocando [v_{1}]_{C} como primeira coluna e [v_{2}]_{C} como segunda coluna. Assim, as colunas são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação rápida (cheque mental): se (\alpha,\beta) são as coordenadas de um vetor x na base B, então a matriz [I]_{C}^{B} aplicada ao vetor coluna \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} dá as coordenadas canônicas de x, isto é
[I]_{C}^{B}\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} =\alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{C}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}]

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