Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em
: Base
e Base
. Encontre
.
Em
Passo 1
O enunciado dá duas bases de
e pede a matriz de mudança de coordenadas indicada:
- Base
. - Base
.
O que se pede: encontrar, ou seja, a matriz da aplicação identidade que tem como base de domínio e base de imagem .
Passo 2
O que significa
na prática?
- Para qualquer vetor
, se são as coordenadas de na base e são as coordenadas na base , a matriz satisfaz
- Em particular, aplicando isso às vetores da base
: para cada vetor tem-se igual à -ésima coluna de .
Portanto, basta escrever cada vetor decomo combinação linear dos vetores de e essas coordenadas formam as colunas da matriz procurada.
Passo 3
Calcular as coordenadas de
Escrevendo componente a componente:
Da primeira equação
na base
são
Passo 4
Calcular as coordenadas de
Componentes:
Da primeira equação (\alpha=1]. Substituindo na segunda:
Portanto
]
Portanto
Passo 5
Montar
colocando as coordenadas de
e
(na ordem dada pela base
) como colunas:
Como checagem rápida: multiplicando essa matriz pelo vetor de coordenadas de
em
, que é
, obtém-se a primeira coluna
, que é exatamente
; mesma ideia para
.]