Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em \mathbb{R}^{2} : Base B=\{(2,1),(1,0)\} e Base D=\{(1,-1),(0,1)\}. Encontre [I]_{D}^{B}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^{2} e pede a matriz de mudança de coordenadas indicada:
  • Base B=\{(2,1),(1,0)\}.
  • Base D=\{(1,-1),(0,1)\}.
    O que se pede: encontrar [I]_{D}^{B}, ou seja, a matriz da aplicação identidade I:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que tem como base de domínio B e base de imagem D.

Passo 2

O que significa [I]_{D}^{B} na prática?
  • Para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2, se [v]_B são as coordenadas de v na base B e [v]_D são as coordenadas na base D, a matriz [I]_{D}^{B} satisfaz
[v]_D = [I]_{D}^{B}\,[v]_B.
  • Em particular, aplicando isso às vetores da base B: para cada vetor b_j\in B tem-se [b_j]_D igual à j-ésima coluna de [I]_{D}^{B}.
    Portanto, basta escrever cada vetor de B como combinação linear dos vetores de D e essas coordenadas formam as colunas da matriz procurada.

Passo 3

Calcular as coordenadas de b_1=(2,1)\) na base \(D\). Procuramos escalares \(\alpha,\beta\) tais que \[(2,1)=\alpha(1,-1)+\beta(0,1).
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} \alpha = 2,\\[4pt] -\alpha+\beta = 1. \end{cases}
Da primeira equação \alpha=2\]. Substituindo na segunda: \[-2+\beta=1 \quad\Rightarrow\quad \beta=3.\] Logo as coordenadas de \(b_1 na base D são
[b_1]_D=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as coordenadas de b_2=(1,0)\) na base \(D\). Procuramos \(\alpha,\beta\) tais que \[(1,0)=\alpha(1,-1)+\beta(0,1).
Componentes:
\begin{cases} \alpha = 1,\\[4pt] -\alpha+\beta = 0. \end{cases}
Da primeira equação (\alpha=1]. Substituindo na segunda:
-1+\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=1.
Portanto
[b_2]_D=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar [I]_{D}^{B} colocando as coordenadas de b_1 e b_2 (na ordem dada pela base B) como colunas:
[I]_{D}^{B}= \begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 3 & 1 \end{pmatrix}.
Como checagem rápida: multiplicando essa matriz pelo vetor de coordenadas de b_1 em B, que é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, obtém-se a primeira coluna \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}, que é exatamente [b_1]_D; mesma ideia para b_2.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 3 & 1 \end{pmatrix}]

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