Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em
Se
e
, determine
na base canônica.
Em
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- As coordenadas de
na base são . - A base
é , ou seja, e .
O que se pede: determinar o vetor
na base canônica (isto é, escrever
como um vetor em
nas coordenadas usuais).
Passo 2
Explicação do que significa
:
Quando escrevemos
, isso quer dizer que os coeficientes da combinação linear de
em relação à base
são
e
. Em palavras simples:
Aqui:
-
é o primeiro vetor da base (ou seja, ); -
é o segundo vetor da base (ou seja, ); - os números
e são os coeficientes que combinam esses vetores para formar .
Essa é a forma mais direta e prática de passar coordenadas de uma base qualquer para a base canônica: multiplicar cada vetor da base pelos seus coeficientes e somar.
Passo 3
Aplicando a definição diretamente:
Fazendo a soma coordenada a coordenada:
Passo 4
(Método alternativo — matriz de mudança de base, útil em provas)
Formar a matriz cujas colunas são os vetores da base :
Formar a matriz cujas colunas são os vetores da base
Calculando:
Passo 5
Resumo rápido e dica para a prova: sempre que tiver
e
, calcule
. Alternativamente, monte a matriz
e faça
. Mantém os cálculos curtos e seguros.