Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em \mathbb{R}^{2}: Se [v]_{B}=\binom{2}{5} e B=\{(1,0),(1,1)\}, determine v na base canônica.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • As coordenadas de v na base B são \displaystyle [v]_{B}=\binom{2}{5}.
  • A base B é B=\{(1,0),(1,1)\}, ou seja, b_{1}=(1,0) e b_{2}=(1,1).
O que se pede: determinar o vetor v na base canônica (isto é, escrever v como um vetor em \mathbb{R}^{2} nas coordenadas usuais).

Passo 2

Explicação do que significa \displaystyle [v]_{B}=\binom{2}{5}:
Quando escrevemos \displaystyle [v]_{B}=\binom{2}{5}, isso quer dizer que os coeficientes da combinação linear de v em relação à base B são 2 e 5. Em palavras simples:
v = 2\,b_{1} + 5\,b_{2}.
Aqui:
  • b_{1} é o primeiro vetor da base B (ou seja, (1,0));
  • b_{2} é o segundo vetor da base B (ou seja, (1,1));
  • os números 2 e 5 são os coeficientes que combinam esses vetores para formar v.
Essa é a forma mais direta e prática de passar coordenadas de uma base qualquer para a base canônica: multiplicar cada vetor da base pelos seus coeficientes e somar.

Passo 3

Aplicando a definição diretamente:
v = 2\, (1,0) + 5\, (1,1).
Fazendo a soma coordenada a coordenada:
v = \bigl(2+5,\;0+5\bigr).

Passo 4

(Método alternativo — matriz de mudança de base, útil em provas)
Formar a matriz cujas colunas são os vetores da base B:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \text{e usar} \qquad v = P\,[v]_{B}.
Calculando:
v = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\[4pt] 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + 1\cdot 5 \\[4pt] 0\cdot 2 + 1\cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+5 \\[4pt] 0+5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Resumo rápido e dica para a prova: sempre que tiver [v]_{B}=\binom{a}{b} e B=\{b_{1},b_{2}\}, calcule v=a\,b_{1}+b\,b_{2}. Alternativamente, monte a matriz P=[\,b_{1}\\ b_{2}\,] e faça v=P\,[v]_{B}. Mantém os cálculos curtos e seguros.

Resposta

\displaystyle v=\begin{pmatrix}7\\[4pt]5\end{pmatrix}]

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