Considere um espelho esférico côncavo com centro de curvatura C , foco F e vértice V. Com base em triângulos semelhantes formados pelos raios notáveis (raio que passa pelo foco, raio que incide paralelo ao eixo principal e raio que passa pelo centro de curvatura), deduza geometricamente a equação de Gauss para espelhos esféricos:
1 / \mathrm{f}=1 / \mathrm{p}+1 / \mathrm{p}^{\prime}
onde f é a distância focal, p é a distância do objeto ao vértice e \mathrm{p}^{\prime} é a distância da imagem ao vértice.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza, por argumento geométrico usando os raios notáveis de um espelho esférico côncavo, a chamada equação de Gauss para espelhos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo visualizado sobre o eixo principal do espelho):
  • Temos um espelho esférico côncavo com centro de curvatura C, foco F e vértice V.
  • R é o raio de curvatura (distância CV).
  • f é a distância focal ( FV).
  • p é a distância do objeto até o vértice V (distância AV para o ponto-objeto A).
  • p' é a distância da imagem até o vértice V (distância A'V para o ponto-imagem A').
  • Vou usar os três raios notáveis:
    1. raio que chega paralelo ao eixo e reflete passando por F;
    2. raio que passa por F e reflete saindo paralelo ao eixo;
    3. raio que passa por C e incide normalmente (é refletido sobre si mesmo).
  • Objetivo:, usando semelhança de triângulos formados por esses raios, deduzir a relação entre p,p' e f e então chegar em \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}.

Passo 2

Desenho mental e definição de variáveis auxiliares (importante para formar triângulos parecidos).
  • Seja A o ponto do objeto num plano perpendicular ao eixo principal (altura do objeto = h). Seja A' o ponto correspondente da imagem (altura da imagem = h').
  • Escolho a direção do eixo de modo que V seja o vértice e C esteja à direita de V na figura; R=CV. O objeto está à esquerda do vértice a uma distância p (isto é, AV=p) e a imagem está, em geral, também na região à esquerda a uma distância p' (isto é, A'V=p'). Trabalharei com essas medidas escalarmente (valores positivos para distâncias).
  • Ponto de incidência do raio paralelo vindo de A no espelho chamo de M (altura y, que para paraxial é aproximadamente h). No ponto M a normal ao espelho passa por C.
  • Observação física importante (lei da reflexão): o ângulo de incidência em M é igual ao ângulo de reflexão em M. Como a normal passa por C, isso faz com que certos triângulos que envolvem A,M,C e A',M,C sejam semelhantes — daí vem a chave do argumento geométrico.

Passo 3

Encontrando a relação por semelhança de triângulos (triângulos envolvendo C).
  • Pelo desenho e pela lei da reflexão, os triângulos que têm vértices em A,M,C e em A',M,C são semelhantes (os dois compartilham um ângulo em M formado com a normal CM, e têm o outro ângulo complementar com o eixo). Dessa semelhança segue a relação entre as alturas e as distâncias do centro C até os pontos A e A'.
  • Distância de A ao centro C: geometricamente isso é AC = |CV - AV| = |R - p|. Analogamente A'C = |R - p'|. (Aqui considerei a orientação em que R e p,p' são medidas ao longo do eixo; a fórmula final será exibida com as distâncias escalares.)
  • Da semelhança dos triângulos obtemos a igualdade entre as razões das alturas pela razão das distâncias até C. Assim:
\frac{h}{h'}=\frac{R-p}{R-p'}.
(Explicação didática: os lados proporcionais são os afastamentos ao longo do eixo (distâncias de A e A' ao centro C) e as alturas perpendiculares h e h'. A semelhança dá proporção direta.)

Passo 4

Encontrando a relação de ampliação (magnificação) usando o raio que passa por C.
  • Considere o raio que sai do topo A e passa exatamente por C antes de atingir o espelho. Esse raio incide normal ao espelho (porque a normal em M é CM), então é refletido sobre si mesmo e vai para o ponto imagem A'. Geometricamente, isso significa que os triângulos formados por A, C e a interseção com o eixo e por A', C e a mesma interseção são semelhantes de forma que dá a relação padrão de ampliação linear (semelhante ao caso de lentes finas):
\frac{h'}{h}=-\frac{p'}{p}.
  • Interpretação: a razão h'/h (chamada de ampliação linear) vale -p'/p. O sinal menos indica que se a imagem é invertida (caso de imagem real formada por espelho côncavo), a altura h' tem sinal oposto a h. Para nosso cálculo de módulo das distâncias, usamos a igualdade de magnitudes e mantemos o sinal negativo explicitando inversão.

Passo 5

Combinação das duas relações para eliminar h e h' e obter relação entre p,p' e R.
  • A partir do Passo 3 temos:
\frac{h}{h'}=\frac{R-p}{R-p'}.
  • A partir do Passo 4 temos (invertendo os lados para obter h/h'):
\frac{h}{h'}=-\frac{p}{p'}.
  • Igualando as duas expressões para h/h' obtemos:
-\frac{p}{p'}=\frac{R-p}{R-p'}.
  • Agora fazemos manipulação algébrica para isolar uma relação entre p, p' e R. Multiplicando em cruz:
- p(R-p') = p'(R-p).
  • Desenvolvendo ambos lados:
- pR + p p' = p' R - p p'.
  • Agrupando termos com p p' no mesmo lado:
- pR + p p' + p p' - p' R = 0 \quad\Rightarrow\quad -pR + 2 p p' - p' R = 0.
  • Colocando 2 p p' isolado:
2 p p' = R(p + p').
  • Dividindo ambos os lados por p p' R obtemos:
\frac{2}{R} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}.

Passo 6

Relacionando R e f e obtendo a equação de Gauss.
  • A definição do ponto focal F para um espelho esférico (no regime paraxial) é o ponto onde raios inicialmente paralelos ao eixo se concentram após a reflexão. Tomando o objeto muito longe (idealmente p\to\infty) a imagem forma-se no foco, então fazendo 1/p\to0 na relação do Passo 5 temos:
\frac{1}{p'}=\frac{2}{R}\quad\text{quando }p\to\infty.
  • Mas p' nesse caso é exatamente a distância f, logo 1/f = 2/R, ou seja
f=\frac{R}{2}.
  • Substituindo \dfrac{2}{R}=\dfrac{1}{f} na relação do Passo 5 obtemos a forma clássica da equação de Gauss:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}.

Resposta

\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}

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