Considere um espelho esférico côncavo com centro de curvatura C , foco F e vértice V. Com base em triângulos semelhantes formados pelos raios notáveis (raio que passa pelo foco, raio que incide paralelo ao eixo principal e raio que passa pelo centro de curvatura), deduza geometricamente a equação de Gauss para espelhos esféricos:
onde f é a distância focal, p é a distância do objeto ao vértice e
é a distância da imagem ao vértice.
Passo 1
O enunciado pede que eu deduza, por argumento geométrico usando os raios notáveis de um espelho esférico côncavo, a chamada equação de Gauss para espelhos:
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo visualizado sobre o eixo principal do espelho):
- Temos um espelho esférico côncavo com centro de curvatura
, foco e vértice . -
é o raio de curvatura (distância ). -
é a distância focal ( ). -
é a distância do objeto até o vértice (distância para o ponto-objeto ). -
é a distância da imagem até o vértice (distância para o ponto-imagem ). - Vou usar os três raios notáveis:
- raio que chega paralelo ao eixo e reflete passando por
; - raio que passa por
e reflete saindo paralelo ao eixo; - raio que passa por
e incide normalmente (é refletido sobre si mesmo).
- raio que chega paralelo ao eixo e reflete passando por
- Objetivo:, usando semelhança de triângulos formados por esses raios, deduzir a relação entre
e e então chegar em .
Passo 2
Desenho mental e definição de variáveis auxiliares (importante para formar triângulos parecidos).
- Seja
o ponto do objeto num plano perpendicular ao eixo principal (altura do objeto = ). Seja o ponto correspondente da imagem (altura da imagem = ). - Escolho a direção do eixo de modo que
seja o vértice e esteja à direita de na figura; . O objeto está à esquerda do vértice a uma distância (isto é, ) e a imagem está, em geral, também na região à esquerda a uma distância (isto é, ). Trabalharei com essas medidas escalarmente (valores positivos para distâncias). - Ponto de incidência do raio paralelo vindo de
no espelho chamo de (altura , que para paraxial é aproximadamente ). No ponto a normal ao espelho passa por . - Observação física importante (lei da reflexão): o ângulo de incidência em
é igual ao ângulo de reflexão em . Como a normal passa por , isso faz com que certos triângulos que envolvem e sejam semelhantes — daí vem a chave do argumento geométrico.
Passo 3
Encontrando a relação por semelhança de triângulos (triângulos envolvendo
).
- Pelo desenho e pela lei da reflexão, os triângulos que têm vértices em
e em são semelhantes (os dois compartilham um ângulo em formado com a normal , e têm o outro ângulo complementar com o eixo). Dessa semelhança segue a relação entre as alturas e as distâncias do centro até os pontos e . - Distância de
ao centro : geometricamente isso é . Analogamente . (Aqui considerei a orientação em que e são medidas ao longo do eixo; a fórmula final será exibida com as distâncias escalares.) - Da semelhança dos triângulos obtemos a igualdade entre as razões das alturas pela razão das distâncias até
. Assim:
(Explicação didática: os lados proporcionais são os afastamentos ao longo do eixo (distâncias de
e
ao centro
) e as alturas perpendiculares
e
. A semelhança dá proporção direta.)
Passo 4
Encontrando a relação de ampliação (magnificação) usando o raio que passa por
.
- Considere o raio que sai do topo
e passa exatamente por antes de atingir o espelho. Esse raio incide normal ao espelho (porque a normal em é ), então é refletido sobre si mesmo e vai para o ponto imagem . Geometricamente, isso significa que os triângulos formados por , e a interseção com o eixo e por , e a mesma interseção são semelhantes de forma que dá a relação padrão de ampliação linear (semelhante ao caso de lentes finas):
- Interpretação: a razão
(chamada de ampliação linear) vale . O sinal menos indica que se a imagem é invertida (caso de imagem real formada por espelho côncavo), a altura tem sinal oposto a . Para nosso cálculo de módulo das distâncias, usamos a igualdade de magnitudes e mantemos o sinal negativo explicitando inversão.
Passo 5
Combinação das duas relações para eliminar
e
e obter relação entre
e
.
- A partir do Passo 3 temos:
- A partir do Passo 4 temos (invertendo os lados para obter
):
- Igualando as duas expressões para
obtemos:
- Agora fazemos manipulação algébrica para isolar uma relação entre
, e . Multiplicando em cruz:
- Desenvolvendo ambos lados:
- Agrupando termos com
no mesmo lado:
- Colocando
isolado:
- Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Passo 6
Relacionando
e
e obtendo a equação de Gauss.
- A definição do ponto focal
para um espelho esférico (no regime paraxial) é o ponto onde raios inicialmente paralelos ao eixo se concentram após a reflexão. Tomando o objeto muito longe (idealmente ) a imagem forma-se no foco, então fazendo na relação do Passo 5 temos:
- Mas
nesse caso é exatamente a distância , logo , ou seja
- Substituindo
na relação do Passo 5 obtemos a forma clássica da equação de Gauss: