Considere um espelho esférico (concavo ou convexo) de raio R. Suponha que um objeto esteja viajanda com velocidade constante, v=vx x+vy y, à esquerda do espelho.
(b) Qual é a condição para que a velocidade da imagem tenha a mesma direção e módulo, mas sentido oposto à velocidade do objeto? Isso é possível se o espelho for convexo ou côncavo? (1,0p)

Passo 1

Beleza! O enunciado diz o seguinte: temos um espelho esférico (pode ser côncavo ou convexo) de raio . Um objeto se move com velocidade constante do lado de “fora” do espelho. A pergunta é: em que situação a velocidade da imagem vai ter exatamente o mesmo módulo e direção, mas sentido contrário da velocidade do objeto? E isso rola num espelho convexo ou só num côncavo?
Conteúdo que vamos usar:
  • Equação dos espelhos esféricos: .
  • Relação entre raio e distância focal: (sinal positivo para côncavo, negativo para convexo).
  • Para achar a velocidade da imagem, vamos derivar em função de .

Passo 2

Primeiro, da equação do espelho:
1do + 1di = 1f Longrightarrow 1di = 1f - 1do = do - ff,do
Invertendo,
di = f,dodo - f

Passo 3

Agora queremos relacionar as velocidades. Como o objeto se move de modo que vi = d,didt = d did do,d dodt = d did do;vo , a rapidez da imagem é
di(do) = f,do,(do - f)^-1 Longrightarrow d did do = f[1do - f - do(do - f)^2] = -,f^2(do - f)^2
Então vamos achar boxedvi = -,f^2(do - f)^2;vo .
Logo

Passo 4

Queremos que vi = -vo Longrightarrow -f^2(do - f)^2 = -1 Longrightarrow f^2(do - f)^2 = 1 tenha o mesmo módulo e direção, porém sentido contrário a |do - f| = |f| Longrightarrow do - f = pm f . Em termos da escala, isso dá
do - f = f Longrightarrow boxeddo = 2f
Tirando raiz quadrada (e cuidando dos sinais):
A escolha física que faz sentido é
A outra opção, , implica , o que não é um caso real de objeto.

Passo 5

Como do = 2f = 2; R2 = R , a condição fica
Ou seja, o objeto deve estar no centro de curvatura do espelho. Além disso, para que isso faça sentido precisa ser positivo, logo só funciona com espelho côncavo. Num convexo ( ) não há posição real de objeto que satisfaça sem cair atrás do espelho.

Resposta

A velocidade da imagem será igual em módulo e direção, mas oposta, exatamente quando o objeto estiver a uma distância (no centro de curvatura). Isso só ocorre para espelho côncavo.

Exercícios relacionados