Considere um espelho esférico (concavo ou convexo) de raio R. Suponha que um objeto esteja viajanda com velocidade constante, v=vx x+vy y, à esquerda do espelho.
(a) Quando esse objeto passa pelo eixo central, em um ponto a distancia p do vértice do espelho, suas imagem se encontra a uma distancia q do vértice.
i. Determine a velocidade da imagem, u=ux x+uy y, quando o objeto cruza o eixo central, em função de R, p, vx e vy (Considere que a coordenada x está na mesma direção da reta formada pelo segmento de reta entre o centro do espelho e seu vértice). ( 2,0 p )

Passo 1

O exercício tá dizendo o seguinte: a gente tem um espelho esférico (pode ser côncavo ou convexo) de raio R. Um objeto se move com velocidade constante
vec v = vx,hat x + vy,hat y
e, no instante em que ele cruza o eixo principal (ou seja, passa exatamente em frente ao vértice do espelho), sua distância ao vértice é e a imagem formará uma distância .
Conteúdo: espelhos esféricos, fórmula com , magnificação lateral, e derivadas para achar velocidade da imagem.
O que vamos precisar:
  1. Espelho esférico: , com .
  2. Derivar em função de para achar .
  3. Usar magnificação lateral para achar .

Passo 2

Usando a fórmula do espelho esférico:
1p+1q=1f Longrightarrow 1q = 1f - 1p Longrightarrow q = p,f,p - f,
onde .

Passo 3

Agora vamos achar a componente axial ux = dqdp,dpdt = dqdp;vx .
Como q(p) = p,fp-f Longrightarrow dqdp = f(p-f)-fcdot p(p-f)^2 = -f^2(p-f)^2 depende de ux = -,f^2(p-f)^2;vx e varia no tempo com , temos
Derivando
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Passo 4

Para a componente transversal m = yrm imyrm obj = -qp , usamos a magnificação lateral
uy = m,vy = -qp;vy
Como e varia com velocidade , a imagem tem

Passo 5

Só falta botar f= R2, q=p,(R/2),p - R/2, =p,R2(p - R/2) e ux = -,l(R/2r)^2l(p-R/2r)^2;vx = -R^24,(p - R/2)^2;vx, uy = -qp;vy = -tfracp,R2(p-R/2)p;vy = -R2,(p - R/2);vy em termos de e :
Então

Resposta

boxed vec u = ux,hat x + uy,hat y = l(-R^24(p - R/2)^2,vxr),hat x ;+; l(-R2(p - R/2),vyr),hat y

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