Considere um espelho esférico côncavo de raio R e vértice V. Primeiro, você insere um objeto de altura y a uma distância de 3 R em relação a V. Em seguida, você posiciona esse objeto a uma distância de R / 3 em relação a V. Faça as ilustraçōes, obtendo a formação das imagens do objeto, desses dois cenários. Determine e interprete a razāo y_{2}^{\prime} / y_{1}^{\prime} das alturas das imagens do objeto nos dois cenários, a partir da equação dos espelhos e aumento lateral.

Passo 1

O espelho esférico côncavo tem raio de curvatura R e, portanto, sua distância focal é dada por
f = \frac{R}{2}.
O objeto de altura y é colocado em dois cenários distintos em relação ao vértice V:
  1. a uma distância s_1 = 3R (além do centro de curvatura),
  2. a uma distância s_2 = \tfrac{R}{3} (dentro da distância focal).
    Vamos desenhar mentalmente os raios principais para cada caso (raio paralelo que reflete passando por F, raio que passa por F refletindo paralelo e raio que passa pelo vértice refletindo simetricamente). A partir daí aplicamos a equação dos espelhos e o aumento lateral para achar as imagens e suas alturas.

Passo 2

Cálculo da imagem para o objeto em s_1 = 3R.
A equação dos espelhos esféricos é
\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_1'} = \frac{1}{f}.
Substituindo s_1 = 3R e f = \tfrac{R}{2},
\frac{1}{3R} + \frac{1}{s_1'} = \frac{2}{R} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s_1'} = \frac{2}{R} - \frac{1}{3R} = \frac{6-1}{3R} = \frac{5}{3R}
\Longrightarrow\quad s_1' = \frac{3R}{5}.
Esse s_1' é positivo, indicando imagem real e invertida, situada entre F e C.

Passo 3

Aumento lateral para o primeiro caso é
m_1 = \frac{y_1'}{y} = -\frac{s_1'}{s_1} = -\frac{\tfrac{3R}{5}}{3R} = -\frac{1}{5}.
Logo
y_1' = m_1\,y = -\frac{1}{5}\,y.
O sinal negativo mostra que a imagem é invertida e a magnitude indica que é 5 vezes menor que o objeto.

Passo 4

Cálculo da imagem para o objeto em s_2 = \tfrac{R}{3}.
Usando novamente
\frac{1}{s_2} + \frac{1}{s_2'} = \frac{1}{f},
com s_2 = \tfrac{R}{3} e f = \tfrac{R}{2},
\frac{3}{R} + \frac{1}{s_2'} = \frac{2}{R} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s_2'} = \frac{2}{R} - \frac{3}{R} = -\frac{1}{R}
\Longrightarrow\quad s_2' = -R.
O sinal negativo em s_2' indica imagem virtual, atrás do espelho, e o módulo diz que está a distância R do vértice.

Passo 5

Aumento lateral para o segundo caso é
m_2 = \frac{y_2'}{y} = -\frac{s_2'}{s_2} = -\frac{-R}{\tfrac{R}{3}} = 3.
Logo
y_2' = m_2\,y = 3\,y,
positivo, indicando que a imagem é virtual, direita e 3 vezes maior que o objeto.

Passo 6

Razão entre as alturas das imagens nos dois cenários:
\frac{y_2'}{y_1'} = \frac{3\,y}{-\tfrac{1}{5}\,y} = -15.
O sinal negativo mostra que as imagens têm orientações opostas (a primeira é invertida, a segunda é direita) e o valor absoluto \,15\ indica que, em módulo, a segunda imagem é 15 vezes maior que a primeira.

Resposta

\frac{y_2'}{y_1'} = -15.
Isto significa que a imagem virtual obtida com o objeto dentro do foco é 15 vezes maior e com orientação oposta à pequena imagem real obtida com o objeto a 3R.

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