Um microprocessador controla a posição do para-choque dianteiro de um carro usado em um teste. A posição é dada por
x(t)=2,17 \mathrm{~m}+\left(4,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2}-\left(0,100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{6}\right) t^{6}
(a) Determine a posição e a aceleração para os instantes em que o carro possui velocidade zero.
(b) Desenhe os gráficos x(t), v_{x}(t) e a_{x}(t) para o movimento do para-choque entre t=0 e t=2,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição do para-choque em função do tempo:
x(t)=2,17\\ \mathrm m \;+\;4,80\\ \mathrm{m/s^2}\;t^2\;-\;0,100\\ \mathrm{m/s^6}\;t^6.
Pede em (a) a posição x e a aceleração a nos instantes em que a velocidade v é zero; em (b) os gráficos de x(t), v(t) e a(t) de t=0 a 2{,}0 s. Vamos usar derivadas para obter v(t) e a(t), depois achar as raízes de v(t)=0.

Passo 2

Calculamos a velocidade por derivação:
v(t)=\frac{dx}{dt} =2\cdot4,80\,t-6\cdot0,100\,t^5 =9,60\,t-0,600\,t^5.
Para achar os instantes em que v=0 resolvemos
9,60\,t-0,600\,t^5=0 \;\Longrightarrow\; t\,(9,60-0,600\,t^4)=0.
Em t\ge0 as soluções são t=0 e 9,60-0,600\,t^4=0\Rightarrow t^4=16\Rightarrow t=2{,}0 s.

Passo 3

Agora determinamos as posições nos instantes t=0 e t=2{,}0 s:
x(0)=2,17+4,80\cdot0^2-0,100\cdot0^6=2,17\\ \mathrm m,
x(2)=2,17+4,80\cdot(2)^2-0,100\cdot(2)^6 =2,17+4,80\cdot4-0,100\cdot64 =2,17+19,2-6,4 =14,97\\ \mathrm m.

Passo 4

A aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt} =9,60-3,00\,t^4.
Nos instantes de interesse:
a(0)=9,60-3,00\cdot0^4=9,60\\ \mathrm{m/s^2},
a(2)=9,60-3,00\cdot(2)^4 =9,60-3,00\cdot16 =9,60-48,0 =-38,4\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Esboço qualitativo dos gráficos de t=0 a 2{,}0 s:
x(t): começa em 2,17 m, cresce monotonamente até 14,97 m em t=2. A derivada é zero em t=0 e em t=2, então a curva tem inclinação nula nos extremos e é mais inclinada no meio.
v(t): parte de zero em t=0, cresce até um máximo em t\approx1{,}34 s (onde a=0), atinge cerca de 10{,}3 m/s, e retorna a zero em t=2 s.
a(t): parte de 9,60 m/ s^{2} em t=0, decresce monotonamente, cruza a=0 em t\approx1{,}34 s e atinge -38,4 m/ s^{2} em t=2 s.

Resposta

(a) Nos instantes em que v=0:
t=0:\quad x=2,17\\ \mathrm m,\quad a=9,60\\ \mathrm{m/s^2};
t=2{,}0\\ \mathrm s:\quad x=14,97\\ \mathrm m,\quad a=-38,4\\ \mathrm{m/s^2}.
(b)
x(t): curva crescente de inclinação nula em t=0 e t=2.
v(t): perfil “montanha”, de 0\to10,3\to0.
a(t): decresce de 9,6 para -38,4, cruzando zero em t\approx1,34 s.

Exercícios relacionados