Um barco é desacelerado por uma força F(v). Sua velocidade decresce de acordo com a fórmula v(t)=C\left(t-t_{1}\right)^{2}, onde C é uma constante e t_{1} é o tempo que ele leva para parar. Determine a força F(v).

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do barco em função do tempo
v(t)=C\bigl(t-t_{1}\bigr)^{2}
e pede a força F(v) que o desacelera. Vamos usar a segunda lei de Newton, que liga força e aceleração:
F=m\,\frac{dv}{dt}.

Passo 2

Calculamos a aceleração derivando v(t) em relação a t:
\frac{dv}{dt} = 2\,C\,(t - t_{1}).

Passo 3

Precisamos expressar t-t_{1} só em função de v. Da relação v=C\,(t-t_{1})^{2} vem
t - t_{1} = \pm \sqrt{\frac{v}{C}}.
Como para t<t_{1} (antes de parar) a quantidade t-t_{1} é negativa, escolhemos
t - t_{1} = -\sqrt{\frac{v}{C}}.

Passo 4

Substituindo em \frac{dv}{dt}:
\frac{dv}{dt} = 2\,C\;\bigl(-\sqrt{\tfrac{v}{C}}\bigr) = -2\,\sqrt{C\,v}.

Passo 5

Aplicando F=m\,\frac{dv}{dt}, obtemos
F(v)=m\bigl(-2\,\sqrt{C\,v}\bigr) =-2\,m\,\sqrt{C}\,\sqrt{v}.

Resposta

F(v) = -2\,m\,\sqrt{C}\,\sqrt{v}.

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