Considere uma espira circular de raio a suspensa por um fio vertical VV de constante de torção k, situada num campo magnético B uniforme com a orientação inicial da figura. O momento de inércia da espira em relação ao eixo VV é I. Faz-se passar através da espira um pulso rápido de corrente de duração t e intensidade máxima i, tão curto que a espira não tem tempo de se mover durante o tempo t. Mostre que o ângulo de deflexão máximo do plano da espira, theta0, é proporcional à carga total q=i t contida no pulso. Este é o princípio do galvanômetro balístico (em geral se utiliza uma bobina com N espiras).

Passo 1

Beleza! Vamos recapitular o que o exercício pede e quais conceitos vamos usar.
Enunciado resumido: temos uma espira circular de raio presa por um fio com constante de torção e momento de inércia . A espira está num campo magnético uniforme . Passamos um pulso de corrente rápido (duração , pico ) pela espira, tão rápido que ela não se mexe enquanto a corrente passa. Precisamos mostrar que o ângulo máximo de deflexão é proporcional à carga total do pulso.
Conteúdo da matéria:
  • Torque magnético num circuito ( ).
  • Momento de inércia e impulso de torque (dynamical rotation: ).
  • Conservação de energia rotacional (energia cinética vira energia potencial elástica do fio de torção).
O que vamos precisar:
  1. Calcular o impulso de torque magnético .
  2. Usar para achar a velocidade angular inicial .
  3. Igualar energia rotacional inicial ½ com energia de torção ½.

Passo 2

Primeiro, qual é o torque magnético na espira?
  • A espira tem área tau = mu,B = (i,A),B .
  • O momento magnético vale De.
  • Num campo De perpendicular à espira, o torque é
L0 = I,omega0 = B,A,q
Como o pulso é rápido, a espira não gira durante o pulso, então podemos usar o impulso de torque para achar o momento angular adquirido:
Mas é justamente a carga total . Logo
Como a espira parte do repouso, esse é o momento angular inicial :

Passo 3

Agora que sabemos a velocidade angular inicial 12,I,omega0^2 ;=;12,k,theta0^2 , a espira vai girar e desacelerar pela torção do fio até parar no ângulo máximo 12,I(B,A,qI)^2 ;=;12,k,theta0^2 Longrightarrow B^2A^2q^22I = k,theta0^22 . A gente aplica conservação de energia:
energia cinética inicial = energia potencial elástica no fio de torção no giro máximo.
theta0 = B,A,qraizI,k
Substituindo :
Isolando :

Resposta

boxedtheta0 = B,(pi a^2),qraizI,kLongrightarrow theta0propto q
Ou, se tiver espiras, troca por .

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