{ }^{1}{ }^{5} (2) Considere o estado de tensòes dado abaixo. Calcule para cada plano coordenado cujas normais sio respectivamente os versores \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2} e \boldsymbol{e}_{3}; a) os respectivos vetores de tensão nesses planos, \boldsymbol{b} ) a componente normal de cada um desses vetores de tensão e; c) a resultante de cisalhamento nos mesmos planos considerados.
e pede, para cada plano cujo vetor normal é o versor \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2} e \boldsymbol{e}_{3}:
(a) o vetor de tensão (vetor tração) naquele plano;
(b) a componente normal desse vetor de tensão (ou seja, a tensão normal);
(c) a resultante de cisalhamento nesse plano (vetor tangencial e sua magnitude).
Informações relevantes dadas:
O tensor \sigma está escrito na base canônica; as normais pedidas são os vetores unitários canônicos \boldsymbol{e}_1=(1,0,0)^T, \boldsymbol{e}_2=(0,1,0)^T, \boldsymbol{e}_3=(0,0,1)^T.
Unidade das tensões: \mathrm{MPa}.]
Passo 2
Fórmula básica (Cauchy) — o vetor tração \boldsymbol{t} num plano de normal unitária \boldsymbol{n} é dado por
\boldsymbol{t}=\sigma\boldsymbol{n}.
Explicação intuitiva: multiplicar a matriz do tensor de tensões pela direção normal nos dá as componentes do vetor de forças por unidade de área que atuam sobre o plano com essa normal.
Como aqui as normais são os versores canônicos, multiplicar \sigma por \boldsymbol{e}_i retorna a i-ésima coluna de \sigma. Vamos calcular:
Isto dá o vetor que fica no plano (perpendicular à normal) e representa o cisalhamento. A magnitude do cisalhamento é |\boldsymbol{s}|=\sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2}.