{ }^{1}{ }^{5} (2) Considere o estado de tensòes dado abaixo. Calcule para cada plano coordenado cujas normais sio respectivamente os versores \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2} e \boldsymbol{e}_{3}; a) os respectivos vetores de tensão nesses planos, \boldsymbol{b} ) a componente normal de cada um desses vetores de tensão e; c) a resultante de cisalhamento nos mesmos planos considerados.
|\sigma|=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 5 \\\\ 3 & 5 & 0 \end{array}\right](M P a)

Passo 1

O enunciado dá o tensor de tensões (em \mathrm{MPa}):
|\sigma|=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 4 & 5\\[4pt] 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}
e pede, para cada plano cujo vetor normal é o versor \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2} e \boldsymbol{e}_{3}:
  • (a) o vetor de tensão (vetor tração) naquele plano;
  • (b) a componente normal desse vetor de tensão (ou seja, a tensão normal);
  • (c) a resultante de cisalhamento nesse plano (vetor tangencial e sua magnitude).
Informações relevantes dadas:
  • O tensor \sigma está escrito na base canônica; as normais pedidas são os vetores unitários canônicos \boldsymbol{e}_1=(1,0,0)^T, \boldsymbol{e}_2=(0,1,0)^T, \boldsymbol{e}_3=(0,0,1)^T.
  • Unidade das tensões: \mathrm{MPa}.]

Passo 2

Fórmula básica (Cauchy) — o vetor tração \boldsymbol{t} num plano de normal unitária \boldsymbol{n} é dado por
\boldsymbol{t}=\sigma\boldsymbol{n}.
Explicação intuitiva: multiplicar a matriz do tensor de tensões pela direção normal nos dá as componentes do vetor de forças por unidade de área que atuam sobre o plano com essa normal.
Como aqui as normais são os versores canônicos, multiplicar \sigma por \boldsymbol{e}_i retorna a i-ésima coluna de \sigma. Vamos calcular:
Para \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_1:
\boldsymbol{t}^{(1)}=\sigma\boldsymbol{e}_1 =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]2 & 4 & 5\\[4pt]3 & 5 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}\\ (\mathrm{MPa}).
Para \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_2:
\boldsymbol{t}^{(2)}=\sigma\boldsymbol{e}_2 =\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]5\end{pmatrix}\\ (\mathrm{MPa}).
Para \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_3:
\boldsymbol{t}^{(3)}=\sigma\boldsymbol{e}_3 =\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}\\ (\mathrm{MPa}).]

Passo 3

Componente normal da tração — definição: a componente normal (tensão normal) é o produto escalar da tração com o vetor normal:
\sigma_n=\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}.
Para versores canônicos isso é simplesmente a i-ésima componente do vetor tração.
Cálculos:
  • Para \boldsymbol{e}_1: \sigma_n^{(1)}=\boldsymbol{t}^{(1)}\cdot\boldsymbol{e}_1=1\\ (\mathrm{MPa}).
  • Para \boldsymbol{e}_2: \sigma_n^{(2)}=\boldsymbol{t}^{(2)}\cdot\boldsymbol{e}_2=4\\ (\mathrm{MPa}).
  • Para \boldsymbol{e}_3: \sigma_n^{(3)}=\boldsymbol{t}^{(3)}\cdot\boldsymbol{e}_3=0\\ (\mathrm{MPa}).
Pequena intuição: a componente normal é a parte do vetor tração que aponta exatamente na direção do normal; é a “compressão/tensão” no próprio plano.

Passo 4

Componente de cisalhamento (vetor tangencial) — fórmula: subtraímos do vetor tração sua projeção na normal:
\boldsymbol{s}=\boldsymbol{t}-(\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n})\,\boldsymbol{n}.
Isto dá o vetor que fica no plano (perpendicular à normal) e representa o cisalhamento. A magnitude do cisalhamento é |\boldsymbol{s}|=\sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2}.
Cálculos detalhados:
Para \boldsymbol{e}_1:
\boldsymbol{s}^{(1)}=\boldsymbol{t}^{(1)}-(\boldsymbol{t}^{(1)}\cdot\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1 =\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}\\ (\mathrm{MPa}).
Magnitude:
|\boldsymbol{s}^{(1)}|=\sqrt{0^2+2^2+3^2}=\sqrt{13}\\ (\mathrm{MPa})\approx 3,606\\ \mathrm{MPa}.
Para \boldsymbol{e}_2:
\boldsymbol{s}^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]5\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix}\\ (\mathrm{MPa}).
Magnitude:
|\boldsymbol{s}^{(2)}|=\sqrt{2^2+0^2+5^2}=\sqrt{29}\\ (\mathrm{MPa})\approx 5,385\\ \mathrm{MPa}.
Para \boldsymbol{e}_3:
\boldsymbol{s}^{(3)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}-0\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}\\ (\mathrm{MPa}).
Magnitude:
|\boldsymbol{s}^{(3)}|=\sqrt{3^2+5^2+0^2}=\sqrt{34}\\ (\mathrm{MPa})\approx 5,831\\ \mathrm{MPa}.]

Passo 5

Recapitulando de forma prática (para você decorar a técnica na prova):
  • Tração em \boldsymbol{e}_i = i-ésima coluna de \sigma.
  • Tensão normal = componente da tração na direção \boldsymbol{e}_i (componente i).
  • Cisalhamento = tração menos a parte normal; magnitude pela raiz da soma dos quadrados das componentes tangenciais.

Resposta

Para \boldsymbol{e}_1: \boldsymbol{t}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}; \sigma_n^{(1)}=1\,\mathrm{MPa}; \boldsymbol{s}^{(1)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}, |\boldsymbol{s}^{(1)}|=\sqrt{13}\,\mathrm{MPa}\\ (\approx 3,606\,\mathrm{MPa}).
Para \boldsymbol{e}_2: \boldsymbol{t}^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]5\end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}; \sigma_n^{(2)}=4\,\mathrm{MPa}; \boldsymbol{s}^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}, |\boldsymbol{s}^{(2)}|=\sqrt{29}\,\mathrm{MPa}\\ (\approx 5,385\,\mathrm{MPa}).
Para \boldsymbol{e}_3: \boldsymbol{t}^{(3)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}; \sigma_n^{(3)}=0\,\mathrm{MPa}; \boldsymbol{s}^{(3)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}, |\boldsymbol{s}^{(3)}|=\sqrt{34}\,\mathrm{MPa}\\ (\approx 5,831\,\mathrm{MPa}).]

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