(2) O estado de tensões em um certo ponto é dado abaixo. Determine: a) o vetor de tensões para um ponto do plano cuja normal é dada por 2 e_{i}+2 e_{i}+3 e_{j} \mathrm{e} ; \mathrm{b} ) as intensidades das componentes normal e de cisalhamento nesse plano.
|\sigma|=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{array}\right](M P a)

Passo 1

O enunciado dá o estado de tensões no ponto, pela matriz
\left|\sigma\right|=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3\\[4pt] -1 & 4 & 0\\[4pt] 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}\;(\text{MPa}),
e pede duas coisas:
  1. Determinar o vetor de tensões (vetor de tração) num ponto do plano cuja normal é dada por 2e_{i}+2e_{j}+3e_{k}. Estou tomando explicitamente do enunciado que a normal a esse plano é o vetor
\mathbf{n} = 2\,\mathbf{e}_{i} + 2\,\mathbf{e}_{j} + 3\,\mathbf{e}_{k},
ou seja, o vetor com componentes (2,2,3).
  1. Determinar as intensidades (valores) da componente normal (tensão normal) e da componente de cisalhamento (tensão tangencial) desse vetor de tensão nesse plano.
Não vou resolver nada neste passo; apenas identifiquei os dados e o que é pedido.]

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (pequena aula prática):
  • O vetor de tração (ou vetor de tensões) \mathbf{t} sobre um plano cuja normal unitária é \hat{\mathbf{n}} é dado por
\mathbf{t} = \boldsymbol{\sigma}\,\hat{\mathbf{n}},
onde \boldsymbol{\sigma} é a matriz tensional e a multiplicação é matriz por vetor.
  • A componente normal da tensão (um escalar) é o produto escalar entre \mathbf{t} e \hat{\mathbf{n}}:
\sigma_{n} = \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t} = \hat{\mathbf{n}}^{T}\boldsymbol{\sigma}\,\hat{\mathbf{n}}.
Esse valor é positivo se a tensão for trativa (alongamento) ao longo da normal, negativo se compressiva.
  • A componente de cisalhamento (magnitude da tensão tangencial) é o módulo da parte tangencial de \mathbf{t}. Seja \mathbf{t}_{\tau} a componente tangencial,
\mathbf{t}_{\tau}=\mathbf{t}-\sigma_{n}\,\hat{\mathbf{n}},
e a intensidade do cisalhamento é
\tau = \|\mathbf{t}_{\tau}\| = \sqrt{\|\mathbf{t}\|^{2}-\sigma_{n}^{2}}.
Explicando as variáveis: \hat{\mathbf{n}} é a normal com comprimento unitário; \mathbf{t} é o vetor tensão resultante aplicado no plano; \sigma_{n} é a componente escalar na direção da normal; \mathbf{t}_{\tau} é o vetor da parte tangencial; \tau é a norma dessa parte tangencial.

Passo 3

Calcular a normal unitária \hat{\mathbf{n}}.
Temos \mathbf{n}=(2,2,3). O comprimento de \mathbf{n} é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}.
Portanto a normal unitária é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{bmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]3\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular o vetor de tração \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\hat{\mathbf{n}}.
Multiplicamos a matriz \boldsymbol{\sigma} pelo vetor \hat{\mathbf{n}}. Usando a matriz dada e \hat{\mathbf{n}}=(1/\sqrt{17})[2,2,3]^{T} obtemos componente a componente:
Primeira componente:
t_{x}= \frac{1}{\sqrt{17}}\big(2\cdot 2 + (-1)\cdot 2 + 3\cdot 3\big) =\frac{1}{\sqrt{17}}(4-2+9)=\frac{11}{\sqrt{17}}.
Segunda componente:
t_{y}= \frac{1}{\sqrt{17}}\big((-1)\cdot 2 + 4\cdot 2 + 0\cdot 3\big) =\frac{1}{\sqrt{17}}(-2+8)=\frac{6}{\sqrt{17}}.
Terceira componente:
t_{z}= \frac{1}{\sqrt{17}}\big(3\cdot 2 + 0\cdot 2 + (-1)\cdot 3\big) =\frac{1}{\sqrt{17}}(6-3)=\frac{3}{\sqrt{17}}.
Logo o vetor de tração é
\mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{bmatrix}11\\[4pt]6\\[4pt]3\end{bmatrix}\quad(\text{MPa}).
(Dica prática para prova: organize a multiplicação linha da matriz vezes o vetor coluna — é mecânico e dá menos erro.)]

Passo 5

Calcular a componente normal \sigma_{n}=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t}.
Como ambos têm fator 1/\sqrt{17}, fazemos o produto escalar diretamente:
\sigma_{n}=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t} =\frac{1}{17}\big(2\cdot 11 + 2\cdot 6 + 3\cdot 3\big) =\frac{1}{17}(22+12+9)=\frac{43}{17}\;(\text{MPa}).
Podemos também avaliar numericamente:
\frac{43}{17}\approx 2{,}5294\;\text{MPa}.
Interpretação rápida: \sigma_{n}>0 indica tensão de tração (puxamento) na direção da normal.

Passo 6

Calcular a componente de cisalhamento (tensão tangencial) \tau.
Método prático: primeiro achar o quadrado do módulo de \mathbf{t}, depois subtrair \sigma_{n}^{2}.
O quadrado do módulo de \mathbf{t} é
\|\mathbf{t}\|^{2}=\frac{1}{17}\big(11^{2}+6^{2}+3^{2}\big)=\frac{1}{17}(121+36+9)=\frac{166}{17}.
O quadrado da componente normal é
\sigma_{n}^{2}=\left(\frac{43}{17}\right)^{2}=\frac{1849}{289}.
Para subtrair, escrevemos \|\mathbf{t}\|^{2} com denominador 289:
\|\mathbf{t}\|^{2}=\frac{166}{17}=\frac{166\cdot 17}{289}=\frac{2822}{289}.
Então
\tau^{2}=\|\mathbf{t}\|^{2}-\sigma_{n}^{2}=\frac{2822}{289}-\frac{1849}{289}=\frac{973}{289}.
Portanto
\tau=\sqrt{\frac{973}{289}}=\frac{\sqrt{973}}{17}\;(\text{MPa}).
Valor numérico aproximado:
\tau\approx \frac{31{,}176}{17}\approx 1{,}8345\;\text{MPa}.
Se preferir, podemos também escrever o vetor tangencial (parte vetorial) explícito:
\mathbf{t}_{\tau}=\mathbf{t}-\sigma_{n}\,\hat{\mathbf{n}} =\frac{1}{17\sqrt{17}}\begin{bmatrix}101\\[4pt]16\\[4pt]-78\end{bmatrix},
cuja norma dá \tau=\sqrt{973}/17 como mostrado.]

Passo 7

Resumo interpretativo e checagem rápida (para sua confiança na prova):
  • Calculamos \mathbf{t} fazendo \boldsymbol{\sigma}\,\hat{\mathbf{n}}.
  • Calculamos \sigma_{n} fazendo \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t} (ou \hat{\mathbf{n}}^{T}\boldsymbol{\sigma}\hat{\mathbf{n}}).
  • Calculamos \tau a partir da diferença entre \|\mathbf{t}\|^{2} e \sigma_{n}^{2}.
  • Números finais foram mantidos exatos em frações e também aproximados para intuição.
Boa notícia: você consegue fazer isso passo a passo na prova — é só seguir a receita e calcular com calma. Vai dar certo!

Resposta

\displaystyle \mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{bmatrix}11\\[4pt]6\\[4pt]3\end{bmatrix}\\ \text{MPa}
\displaystyle \sigma_{n}=\frac{43}{17}\\ \text{MPa}\approx 2{,}5294\\ \text{MPa}
\displaystyle \tau=\frac{\sqrt{973}}{17}\\ \text{MPa}\approx 1{,}8345\\ \text{MPa}]

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