(2) O estado de tensões em um certo ponto é dado abaixo. Determine: a) o vetor de tensões para um ponto do plano cuja normal é dada por 2 e_{i}+2 e_{i}+3 e_{j} \mathrm{e} ; \mathrm{b} ) as intensidades das componentes normal e de cisalhamento nesse plano.
Determinar o vetor de tensões (vetor de tração) num ponto do plano cuja normal é dada por 2e_{i}+2e_{j}+3e_{k}. Estou tomando explicitamente do enunciado que a normal a esse plano é o vetor
Determinar as intensidades (valores) da componente normal (tensão normal) e da componente de cisalhamento (tensão tangencial) desse vetor de tensão nesse plano.
Não vou resolver nada neste passo; apenas identifiquei os dados e o que é pedido.]
Passo 2
Conceitos e fórmulas importantes (pequena aula prática):
O vetor de tração (ou vetor de tensões) \mathbf{t} sobre um plano cuja normal unitária é \hat{\mathbf{n}} é dado por
Esse valor é positivo se a tensão for trativa (alongamento) ao longo da normal, negativo se compressiva.
A componente de cisalhamento (magnitude da tensão tangencial) é o módulo da parte tangencial de \mathbf{t}. Seja \mathbf{t}_{\tau} a componente tangencial,
Explicando as variáveis: \hat{\mathbf{n}} é a normal com comprimento unitário; \mathbf{t} é o vetor tensão resultante aplicado no plano; \sigma_{n} é a componente escalar na direção da normal; \mathbf{t}_{\tau} é o vetor da parte tangencial; \tau é a norma dessa parte tangencial.
Passo 3
Calcular a normal unitária \hat{\mathbf{n}}.
Temos \mathbf{n}=(2,2,3). O comprimento de \mathbf{n} é
Calcular o vetor de tração \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\hat{\mathbf{n}}.
Multiplicamos a matriz \boldsymbol{\sigma} pelo vetor \hat{\mathbf{n}}. Usando a matriz dada e \hat{\mathbf{n}}=(1/\sqrt{17})[2,2,3]^{T} obtemos componente a componente: