Considere o experimento de Thomson com o campo elétrico desligado. Se os elétrons penetram com uma velocidade
em uma região de campo magnético uniforme
e comprimento
, mostre que, para pequenas deflexões, o ângulo de deflexão dos elétrons é dado por
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um experimento onde elétrons estão se movendo numa região com um campo magnético, mas sem campo elétrico. A gente vai usar conceitos de física como força magnética e movimento de partículas carregadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força magnética age nos elétrons e como isso faz com que eles se desloquem em um certo ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da força magnética que atua sobre uma carga elétrica em movimento. A fórmula para essa força é:
Aqui, $ e $ é a carga do elétron, $ \mathbf{v} $ é a velocidade do elétron, e $ \mathbf{B} $ é o campo magnético. Como a velocidade $ u $ é muito menor que a velocidade da luz $ c $, podemos ignorar efeitos relativísticos.
Passo 3
A força magnética é perpendicular à direção do movimento do elétron. Isso significa que ela vai mudar a direção do elétron, mas não sua velocidade no sentido original. A força resulta em uma aceleração perpendicular à velocidade, que causa a deflexão do elétron.
A aceleração $ a $ pode ser calculada pela segunda lei de Newton:
Aqui, $ m $ é a massa do elétron.
Passo 4
Vamos calcular o tempo que o elétron leva para atravessar a região com o campo magnético. Sabemos que a região tem um comprimento $ \ell $ e o elétron está se movendo com velocidade $ u $, então:
Passo 5
Agora, vamos determinar o quanto o elétron é desviado perpendicularmente à direção original. A deflexão $ y $ pode ser calculada usando a fórmula de movimento uniformemente acelerado:
Substituindo os valores de $ a $ e $ t $:
Passo 6
Para encontrar o ângulo de deflexão $ \theta $, podemos relacionar a deflexão perpendicular $ y $ com o comprimento $ \ell $. Para pequenas deflexões, usamos a aproximação:
Substituindo $ y $:
Resposta
O ângulo de deflexão dos elétrons é aproximadamente $ \theta \approx \dfrac{e , \ell , B}{m , u} $.