Considere a expressão integral
I=\int_{3}^{\frac{3 \frac{5}{2}}{\sqrt{n}}} \int_{-\sqrt{-5+\frac{5 y^{2}}{9}}}^{\sqrt{-5+\frac{5 y^{2}}{9}}} f(x, y) d x d y+\int_{\frac{3 \frac{5}{2}}{\sqrt{7}}}^{9} \int_{-\sqrt{25-\frac{25 y^{2}}{81}}}^{\sqrt{25-\frac{25 y^{2}}{81}}} f(x, y) d x d y
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, a expressão \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) x \in[ □ , □ ].
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ , □ ].

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
I=\int_{3}^{\frac{3^{5/2}}{\sqrt{7}}}\int_{-\sqrt{-5+\frac{5y^{2}}{9}}}^{\sqrt{-5+\frac{5y^{2}}{9}}} f(x,y)\,dx\,dy +\int_{\frac{3^{5/2}}{\sqrt{7}}}^{9}\int_{-\sqrt{25-\frac{25y^{2}}{81}}}^{\sqrt{25-\frac{25y^{2}}{81}}} f(x,y)\,dx\,dy.
O que o enunciado pede:
a) Reescrever I como uma única integral dupla com a ordem de integração trocada, isto é, tomar x como variável externa (independente) e, portanto, fornecer:
i) o intervalo de x, isto é \;x\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;];
ii) o intervalo (funções de x) para y, isto é \;y\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;].
b) Transformar I em coordenadas polares, usando simetrias, e fornecer:
i) o intervalo para \theta, \;\theta\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;];
ii) o intervalo para r (funções de \theta), \;r\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;].
Informações relevantes dadas (que vou usar depois):
  • Primeiro bloco (para 3\le y\le \dfrac{3^{5/2}}{\sqrt{7}}) tem, para cada y, os limites em x:
x\in\left[-\sqrt{-5+\frac{5y^{2}}{9}},\;\sqrt{-5+\frac{5y^{2}}{9}}\right].
  • Segundo bloco (para \dfrac{3^{5/2}}{\sqrt{7}}\le y\le 9) tem, para cada y, os limites em x:
x\in\left[-\sqrt{25-\frac{25y^{2}}{81}},\;\sqrt{25-\frac{25y^{2}}{81}}\right].
  • Observação importante que será usada: os dois ramos se encontram para um valor intermediário de y, que já aparece nos limites como y=\dfrac{3^{5/2}}{\sqrt{7}} (ou seja, y_0=\dfrac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}}). A resolução do problema começa agora.

Passo 2

Primeiro encontro os pontos onde as duas expressões para os limites em x coincidem (isso dá o ponto de viração do domínio em y). Igualando os radicandos:
-5+\frac{5y^{2}}{9}=25-\frac{25y^{2}}{81}.
Vou resolver essa equação passo a passo:
-5+\frac{5y^{2}}{9}=25-\frac{25y^{2}}{81}.
Multiplico ambos os lados por 81 para eliminar denominadores:
-405+45y^{2}=2025-25y^{2}.
Agrupando os termos com y^{2}:
45y^{2}+25y^{2}=2025+405.
70y^{2}=2430.
y^{2}=\frac{2430}{70}=\frac{243}{7}.
Portanto
y=\sqrt{\frac{243}{7}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3^{5/2}}{\sqrt{7}}.
Esse é o y_0 que aparece nos limites do enunciado; conferimos que os limites dados são consistentes.

Passo 3

Calculo agora o valor de x no ponto de interseção (para depois achar a extensão máxima em x). Uso, por exemplo, o primeiro radicando e y^{2}=\dfrac{243}{7}:
x_{0}^{2}=-5+\frac{5y_{0}^{2}}{9}=-5+\frac{5}{9}\cdot\frac{243}{7}.
Calculo passo a passo:
\frac{5}{9}\cdot\frac{243}{7}=\frac{5\cdot243}{63}=\frac{1215}{63}=\frac{243}{12.6} \quad\text{(mas vou simplificar exatamente)}.
De fato,
\frac{1215}{63}=\frac{1215\div9}{63\div9}=\frac{135}{7}=19\frac{2}{7}.
Então
x_{0}^{2}=-5+\frac{1215}{63}=-5+\frac{135}{7}=\frac{-35+135}{7}=\frac{100}{7}.
Logo
x_{0}=\sqrt{\frac{100}{7}}=\frac{10}{\sqrt{7}}.
Esse é o valor máximo de |x| no domínio (o domínio é simétrico em relação ao eixo y), então o intervalo total de x é
x\in\left[-\frac{10}{\sqrt{7}},\;\frac{10}{\sqrt{7}}\right].

Passo 4

Agora vamos inverter as relações x em função de y para obter y em função de x — isso é necessário para escrever a integral com x como variável externa (integrar em y primeiro). Tomo cada expressão dos radicandos e isolo y.
Primeiro ramo (usado quando 3\le y\le y_{0}):
x^{2}=-5+\frac{5y^{2}}{9}.
Isolando y^{2}:
x^{2}+\;5=\frac{5y^{2}}{9}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{9}{5}(x^{2}+5)=9\!\left(1+\frac{x^{2}}{5}\right).
Como y\ge 3 (o domínio dado tem y positivo), tomo a raiz positiva:
y=3\sqrt{1+\frac{x^{2}}{5}}.
Segundo ramo (usado quando y_{0}\le y\le 9):
x^{2}=25-\frac{25y^{2}}{81}.
Isolando y^{2}:
\frac{25y^{2}}{81}=25-x^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{81}{25}(25-x^{2})=81\!\left(1-\frac{x^{2}}{25}\right).
Novamente y\ge0, então
y=9\sqrt{1-\frac{x^{2}}{25}}.
Conclusão desta etapa: para cada x com |x|\le x_{0}=\dfrac{10}{\sqrt{7}}, os valores de y no domínio variam entre
y_{\text{inferior}}(x)=3\sqrt{1+\frac{x^{2}}{5}} \quad\text{e}\quad y_{\text{superior}}(x)=9\sqrt{1-\frac{x^{2}}{25}}.
Note que para x=0 isso dá y\in[3,9] (coerente), e nas extremidades x=\pm x_{0} as duas curvas se encontram (mesmo y).

Passo 5

Escrevo então I como única integral dupla com x como variável externa:
I=\int_{x=-\frac{10}{\sqrt{7}}}^{\frac{10}{\sqrt{7}}} \left(\int_{y=3\sqrt{1+\frac{x^{2}}{5}}}^{\,9\sqrt{1-\frac{x^{2}}{25}}} f(x,y)\,dy\right) dx.
Dessa expressão levo para as respostas pedidas em (a): os intervalos de x e de y (este último depende de x).

Passo 6

Agora passo para coordenadas polares. Faço a substituição usual:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA= r\,dr\,d\theta.
Preciso escrever as curvas limites em termos de r e \theta.
Primeira curva (vinda de x^{2}=-5+\dfrac{5y^{2}}{9}):
r^{2}\cos^{2}\theta=-5+\frac{5}{9}r^{2}\sin^{2}\theta.
Agrupando termos com r^{2}:
r^{2}\!\Big(9\cos^{2}\theta-5\sin^{2}\theta\Big)=-45,
logo
r^{2}=\frac{45}{5\sin^{2}\theta-9\cos^{2}\theta}.
Essa expressão só faz sentido (tem r^{2}>0) quando o denominador for positivo, isto é,
5\sin^{2}\theta-9\cos^{2}\theta>0\quad\Longleftrightarrow\quad \tan^{2}\theta>\frac{9}{5}.
Portanto \theta deve satisfazer
\theta\in\left(\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}},\;\pi-\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}}\right).
Como trabalhamos com y\ge0, restringimos a metade superior ( 0\le\theta\le\pi), então efetivamente usamos a parte
\theta\in\left(\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}},\;\pi-\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}}\right),
que é simétrica em torno de \theta=\dfrac{\pi}{2}.
Segunda curva (vinda de x^{2}=25-\dfrac{25y^{2}}{81}):
r^{2}\cos^{2}\theta=25-\frac{25}{81}r^{2}\sin^{2}\theta,
portanto
r^{2}\!\big(81\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta\big)=2025,
e
r^{2}=\frac{2025}{81\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta}.

Passo 7

Interpretação e uso da simetria: o domínio está no semiplano y\ge0 e é simétrico em x (simetria em torno do eixo y). Assim, pode-se integrar em \theta sobre a faixa simétrica em torno de \dfrac{\pi}{2} ou, para simplificar, integrar só na metade direita da região (isto é, \theta de \arctan\frac{3}{\sqrt{5}} até \dfrac{\pi}{2}) e multiplicar por 2 para obter a contribuição da metade esquerda; essa é a utilização de simetria “duas vezes” (usar que a região está no semiplano superior e tem reflexão em x). Portanto duas opções são válidas para os limites em \theta:
  • escrever a integral polar para toda a região do semiplano superior sem multiplicadores, usando
\theta\in\left[\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}},\;\pi-\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}}\right],
e para cada \theta ter
r\in\left[\sqrt{\dfrac{45}{\,5\sin^{2}\theta-9\cos^{2}\theta\,}}\;,\;\sqrt{\dfrac{2025}{\,81\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta\,}}\right].
  • ou, usando simetria em x (reflexão esquerda-direita), integrar apenas em
\theta\in\left[\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}},\;\frac{\pi}{2}\right]
e multiplicar por 2 a integral; nesse caso os limites em r permanecem os mesmos funções de \theta que acabei de escrever.
Ambas as formas definem corretamente os limites em coordenadas polares; a primeira dá os limites diretos, a segunda aproveita a simetria para reduzir o intervalo de \theta.

Resposta

a.i) \displaystyle x\in\left[-\frac{10}{\sqrt{7}},\;\frac{10}{\sqrt{7}}\right]\n
a.ii) \displaystyle y\in\left[\,3\sqrt{1+\frac{x^{2}}{5}}\;,\;9\sqrt{1-\frac{x^{2}}{25}}\,\right]\n
b.i) \displaystyle \theta\in\left[\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}}\;,\;\pi-\arctan\!\frac{3}{\sqrt{5}}\right]\n
b.ii) \displaystyle r\in\left[\sqrt{\dfrac{45}{\,5\sin^{2}\theta-9\cos^{2}\theta\,}}\;,\;\sqrt{\dfrac{2025}{\,81\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta\,}}\right]

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