Considere a expressão integral I=\int_{3}^{\frac{3 \frac{5}{2}}{\sqrt{n}}} \int_{-\sqrt{-5+\frac{5 y^{2}}{9}}}^{\sqrt{-5+\frac{5 y^{2}}{9}}} f(x, y) d x d y+\int_{\frac{3 \frac{5}{2}}{\sqrt{7}}}^{9} \int_{-\sqrt{25-\frac{25 y^{2}}{81}}}^{\sqrt{25-\frac{25 y^{2}}{81}}} f(x, y) d x d y
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, a expressão \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) x \in[ □ , □ ].
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ , □ ].
O que o enunciado pede:
a) Reescrever I como uma única integral dupla com a ordem de integração trocada, isto é, tomar x como variável externa (independente) e, portanto, fornecer:
i) o intervalo de x, isto é \;x\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;];
ii) o intervalo (funções de x) para y, isto é \;y\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;].
b) Transformar I em coordenadas polares, usando simetrias, e fornecer:
i) o intervalo para \theta, \;\theta\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;];
ii) o intervalo para r (funções de \theta), \;r\in[\; \boxed{\\ } ,\; \boxed{\\ } \;].
Observação importante que será usada: os dois ramos se encontram para um valor intermediário de y, que já aparece nos limites como y=\dfrac{3^{5/2}}{\sqrt{7}} (ou seja, y_0=\dfrac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}}). A resolução do problema começa agora.
Passo 2
Primeiro encontro os pontos onde as duas expressões para os limites em x coincidem (isso dá o ponto de viração do domínio em y). Igualando os radicandos:
-5+\frac{5y^{2}}{9}=25-\frac{25y^{2}}{81}.
Vou resolver essa equação passo a passo:
-5+\frac{5y^{2}}{9}=25-\frac{25y^{2}}{81}.
Multiplico ambos os lados por 81 para eliminar denominadores:
Esse é o y_0 que aparece nos limites do enunciado; conferimos que os limites dados são consistentes.
Passo 3
Calculo agora o valor de x no ponto de interseção (para depois achar a extensão máxima em x). Uso, por exemplo, o primeiro radicando e y^{2}=\dfrac{243}{7}:
Agora vamos inverter as relações x em função de y para obter y em função de x — isso é necessário para escrever a integral com x como variável externa (integrar em y primeiro). Tomo cada expressão dos radicandos e isolo y.
Interpretação e uso da simetria: o domínio está no semiplano y\ge0 e é simétrico em x (simetria em torno do eixo y). Assim, pode-se integrar em \theta sobre a faixa simétrica em torno de \dfrac{\pi}{2} ou, para simplificar, integrar só na metade direita da região (isto é, \theta de \arctan\frac{3}{\sqrt{5}} até \dfrac{\pi}{2}) e multiplicar por 2 para obter a contribuição da metade esquerda; essa é a utilização de simetria “duas vezes” (usar que a região está no semiplano superior e tem reflexão em x). Portanto duas opções são válidas para os limites em \theta:
escrever a integral polar para toda a região do semiplano superior sem multiplicadores, usando
e multiplicar por 2 a integral; nesse caso os limites em r permanecem os mesmos funções de \theta que acabei de escrever.
Ambas as formas definem corretamente os limites em coordenadas polares; a primeira dá os limites diretos, a segunda aproveita a simetria para reduzir o intervalo de \theta.