Questão 7

Se r é raiz de \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}+1, então ( \mathrm{x}-\mathrm{r} ) divide o polinômio. Verifique realizando a divisão.
Objetivo:
  • Relacionar raiz e fator.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=x^{3}-3x+1 e afirma que r é uma raiz, ou seja, que P(r)=0. O pedido é verificar, realizando a divisão, que (x-r) é um fator de P(x); em outras palavras, dividir P(x) por (x-r) e mostrar que o resto da divisão é zero. Informações relevantes dadas:
  • Polinômio: P(x)=x^{3}-3x+1.
  • r é raiz, portanto P(r)=r^{3}-3r+1=0.
  • Objetivo: efetuar a divisão de P(x) por (x-r) e verificar que o resto é 0.

Passo 2

Explicação didática do método que vou usar: a divisão de um polinômio por um binômio do tipo (x-r) pode ser feita rapidamente por “divisão sintética”. A ideia da divisão sintética é trabalhar apenas com os coeficientes do polinômio e ir repetidamente multiplicando pelo valor r e somando, obtendo os coeficientes do quociente e, por fim, o resto. Também existe o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de P(x) por (x-r) é exatamente P(r). Vou demonstrar a divisão sintética passo a passo e mostrar que o resto é P(r); como r é raiz, o resto será zero.

Passo 3

Preparar os coeficientes de P(x). O polinômio P(x)=x^{3}+0\cdot x^{2}-3x+1 tem coeficientes, em ordem, 1,\;0,\;-3,\;1. Vamos aplicar a divisão sintética com r.
Procedimento (cada linha é uma operação):
  • Traga o primeiro coeficiente para baixo: 1. Esse será o coeficiente do termo x^{2} do quociente.
  • Multiplique esse 1 por r: obtemos r.
  • Some esse r ao próximo coeficiente 0: resulta r. Esse é o coeficiente do termo x do quociente.
  • Multiplique r por r: obtemos r^{2}.
  • Some r^{2} ao próximo coeficiente -3: resulta r^{2}-3. Esse é o termo independente do quociente (ou coeficiente de x^{0}).
  • Multiplique r^{2}-3 por r: obtemos r^{3}-3r.
  • Some r^{3}-3r ao último coeficiente 1: obtemos r^{3}-3r+1. Esse número é o resto da divisão.
Portanto, a divisão sintética dá:
  • Quociente: x^{2}+r x+(r^{2}-3).
  • Resto: r^{3}-3r+1.

Passo 4

Interpretação: pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de P(x) por (x-r) é P(r). De fato aqui o resto encontrado é r^{3}-3r+1=P(r). Como o enunciado afirma que r é raiz, vale P(r)=0. Logo o resto é zero, o que significa que a divisão é exata e (x-r) divide P(x).
Para confirmar algebricamente, podemos recompor P(x) multiplicando o divisor pelo quociente e somando o resto:
(x-r)\bigl(x^{2}+r x+(r^{2}-3)\bigr) + \bigl(r^{3}-3r+1\bigr) = x^{3}-3x+1 = P(x).
Se r é raiz, então r^{3}-3r+1=0 e a última soma mostra que P(x)=(x-r)\bigl(x^{2}+r x+(r^{2}-3)\bigr), ou seja, divisão exata.

Passo 5

Resumo final da verificação: a divisão sintética produziu quociente e resto explícitos; substituindo P(r)=0 conclui-se que o resto é zero e, portanto, (x-r) é fator de P(x).

Resposta

Quociente: x^{2}+r x+(r^{2}-3)
Resto: 0 (pois r^{3}-3r+1=0)

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