Questão 7
Se r é raiz de
, então (
) divide o polinômio. Verifique realizando a divisão.
Objetivo:
- Relacionar raiz e fator.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e afirma que
é uma raiz, ou seja, que
. O pedido é verificar, realizando a divisão, que
é um fator de
; em outras palavras, dividir
por
e mostrar que o resto da divisão é zero. Informações relevantes dadas:
- Polinômio:
. -
é raiz, portanto . - Objetivo: efetuar a divisão de
por e verificar que o resto é .
Passo 2
Explicação didática do método que vou usar: a divisão de um polinômio por um binômio do tipo
pode ser feita rapidamente por “divisão sintética”. A ideia da divisão sintética é trabalhar apenas com os coeficientes do polinômio e ir repetidamente multiplicando pelo valor
e somando, obtendo os coeficientes do quociente e, por fim, o resto. Também existe o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de
por
é exatamente
. Vou demonstrar a divisão sintética passo a passo e mostrar que o resto é
; como
é raiz, o resto será zero.
Passo 3
Preparar os coeficientes de
. O polinômio
tem coeficientes, em ordem,
. Vamos aplicar a divisão sintética com
.
Procedimento (cada linha é uma operação):
- Traga o primeiro coeficiente para baixo:
. Esse será o coeficiente do termo do quociente. - Multiplique esse
por : obtemos . - Some esse
ao próximo coeficiente : resulta . Esse é o coeficiente do termo do quociente. - Multiplique
por : obtemos . - Some
ao próximo coeficiente : resulta . Esse é o termo independente do quociente (ou coeficiente de ). - Multiplique
por : obtemos . - Some
ao último coeficiente : obtemos . Esse número é o resto da divisão.
Portanto, a divisão sintética dá:
- Quociente:
. - Resto:
.
Passo 4
Interpretação: pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de
por
é
. De fato aqui o resto encontrado é
. Como o enunciado afirma que
é raiz, vale
. Logo o resto é zero, o que significa que a divisão é exata e
divide
.
Para confirmar algebricamente, podemos recompor
multiplicando o divisor pelo quociente e somando o resto:
Se
é raiz, então
e a última soma mostra que
, ou seja, divisão exata.
Passo 5
Resumo final da verificação: a divisão sintética produziu quociente e resto explícitos; substituindo
conclui-se que o resto é zero e, portanto,
é fator de
.
Resposta
Quociente:
Resto: (pois
)
Resto: