Prove que se \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) são sequências de Cauchy, então \left(a_{n}+b_{n}\right) também é.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) que são sequências de Cauchy e pede para provar que a sequência \left(a_{n}+b_{n}\right) também é de Cauchy.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para a sequência \left(a_{n}\right) vale a definição de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe N_{1}\in\mathbb{N} tal que, para todos n,m\ge N_{1},
|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon.
  • Para a sequência \left(b_{n}\right) vale a definição de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe N_{2}\in\mathbb{N} tal que, para todos n,m\ge N_{2},
|b_{n}-b_{m}|<\varepsilon.
  • O que se quer mostrar é que \left(a_{n}+b_{n}\right) satisfaz a definição de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todos n,m\ge N,
\bigl| (a_{n}+b_{n})-(a_{m}+b_{m})\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Estratégia do prova (sem resolver ainda): tomar um \varepsilon>0 arbitrário e usar que cada sequência é Cauchy para obter índices a partir dos quais as diferenças |a_{n}-a_{m}| e |b_{n}-b_{m}| são pequenas; depois usar a desigualdade triangular
|x+y|\le |x|+|y|
para ligar \bigl| (a_{n}+b_{n})-(a_{m}+b_{m})\bigr| às duas diferenças anteriores. Para dividir a tolerância \varepsilon entre as duas sequências, é comum escolher \varepsilon/2.

Passo 3

Começo formal do argumento. Seja \varepsilon>0 arbitrário. Como \left(a_{n}\right) é Cauchy, existe N_{1}\in\mathbb{N} tal que, para todos n,m\ge N_{1},
|a_{n}-a_{m}|<\frac{\varepsilon}{2}.
Explicação didática: escolhemos \varepsilon/2 porque queremos garantir que a contribuição de \left(a_{n}\right) ao erro total fique abaixo de metade da tolerância total; isso facilita somar duas contribuições e ainda ficar abaixo de \varepsilon.

Passo 4

Do mesmo modo, como \left(b_{n}\right) é Cauchy, existe N_{2}\in\mathbb{N} tal que, para todos n,m\ge N_{2},
|b_{n}-b_{m}|<\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 5

Defina N=\max\{N_{1},N_{2}\}. Assim, se n,m\ge N então simultaneamente n,m\ge N_{1} e n,m\ge N_{2}, portanto valem as duas desigualdades das etapas anteriores.
Calcule a diferença da soma:
\bigl|(a_{n}+b_{n})-(a_{m}+b_{m})\bigr| = \bigl|(a_{n}-a_{m})+(b_{n}-b_{m})\bigr|.
Aplicando a desigualdade triangular (que diz que o valor absoluto da soma não excede a soma dos valores absolutos), obtemos
\bigl|(a_{n}-a_{m})+(b_{n}-b_{m})\bigr| \le |a_{n}-a_{m}| + |b_{n}-b_{m}|.
Como n,m\ge N, cada termo à direita é menor que \varepsilon/2, logo
|a_{n}-a_{m}| + |b_{n}-b_{m}| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, para todo n,m\ge N temos
\bigl|(a_{n}+b_{n})-(a_{m}+b_{m})\bigr|<\varepsilon.

Passo 6

Conclusão formal: mostramos que, dado \varepsilon>0, existe N (escolhido como \max\{N_{1},N_{2}\}) tal que para todos n,m\ge N a diferença \bigl|(a_{n}+b_{n})-(a_{m}+b_{m})\bigr| é menor que \varepsilon. Isso é exatamente a definição de sequência de Cauchy: portanto \left(a_{n}+b_{n}\right) é uma sequência de Cauchy.
Comentário amigo e prático: a prova é curta e usa duas ideias simples — dividir a tolerância em duas partes iguais e a desigualdade triangular — que são ferramentas padrão para somas de sequências. Um exemplo concreto para fixar: se a_{n}=1/n e b_{n}=1/n, ambas são Cauchy e a soma 2/n também é Cauchy conforme a prova garante.

Resposta

A sequência \left(a_{n}+b_{n}\right) é de Cauchy.

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