Considere a expressão integral
I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{125}{\sqrt{14}}} \int_{-\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}}^{\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}} f(x, y) d x d y+\int_{\frac{125}{\sqrt{14}}}^{10} \int_{-\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}}^{\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}} f(x, y) d x d y,
a) Tomando x como variável independente, a expressão I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) x \in[ □ , □ ].
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{125}{\sqrt{14}}} \int_{-\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}}^{\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}} f(x, y)\, dx\, dy +\int_{\frac{125}{\sqrt{14}}}^{10} \int_{-\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}}^{\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}} f(x, y)\, dx\, dy.
As pedido, vamos reescrever essa soma como UMA única integral dupla com integração em ordem dx\,dy trocada para tomar x como variável independente (isto é, fazer a integral com a variável externa sendo x), e depois escrever a mesma região em coordenadas polares usando simetria (fazer metade da região em \theta e multiplicar por 2).
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Existem duas curvas que delimitam a região, dadas implicitamente por x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}y^{2}-4}\qquad\text{e}\qquad x=\pm\sqrt{16-\frac{4y^{2}}{25}}.
  • O intervalo vertical total em y vai de y=\sqrt{10} até y=10 (a partir das extremidades das integrais dadas).
  • A região é simétrica em relação ao eixo y (os limites em x são simétricos).
O que o exercício pede:
a) Reescrever a integral com x como variável independente: identificar o intervalo de x e, para cada x, os limites em y (isto pode envolver uma expressão em partes).
b) Passar para coordenadas polares e, usando simetria (fazer metade e multiplicar por 2), indicar os limites em \theta e em r para a metade considerada.

Passo 2

Entender as curvas explicitamente e encontrar pontos-chave (zeros, interseção das curvas, extremos em x).
Escrevendo as duas curvas em forma conveniente:
  • Curva 1 (vou chamar C_1): \;x^{2}=\dfrac{2}{5}y^{2}-4.
    Invertendo para y (ramo positivo, pois y>0 no enunciado): y=\sqrt{\dfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)}.
  • Curva 2 (chamar C_2): \;x^{2}=16-\dfrac{4}{25}y^{2}.
    Invertendo para y (ramo positivo): y=\dfrac{5}{2}\sqrt{16-x^{2}}.
Pontos relevantes:
  • Em y=\sqrt{10}, pela C_1 temos x=0 (porque \dfrac{2}{5}(\sqrt{10})^{2}-4= \dfrac{2}{5}\cdot10-4=0).
  • Em y=10, pela C_1 temos x^{2}=\dfrac{2}{5}\cdot100-4=40-4=36\Rightarrow x=\pm6. Logo o alcance máximo em x vale |x|=6.
    Portanto já vemos que a projeção da região no eixo x é contida em [-6,6].

Passo 3

Determinar o(s) ponto(s) de interseção das duas curvas (para saber onde trocar fórmula de limite horizontal).
Igualando os dois x^{2}:
\frac{2}{5}y^{2}-4 \;=\;16-\frac{4}{25}y^{2}.
Multiplicando por 25 para evitar frações:
10y^{2}-100 = 400 -4y^{2}\quad\Rightarrow\quad 14y^{2}=500\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{500}{14}=\frac{250}{7}.
Logo o ponto de interseção (ramo positivo) é
y_{0}=\sqrt{\frac{250}{7}}=\frac{5\sqrt{70}}{7}.
Este y_{0} é o valor onde as duas funções de x (as duas abscissas simétricas) se tornam iguais; para y<y_{0} uma das curvas dá a extremidade horizontal maior, e para y>y_{0} a outra é a maior. (Usarei este y_{0} para organizar as regiões se necessário.)

Passo 4

Encontrar o intervalo total de x (limite externo quando tomamos x como independente).
Como visto no Passo 2, a maior extensão horizontal ocorre em y=10 e dá |x|_{\max}=6. Como a região é simétrica, a projeção total em x é
x\in[-6,6].

Passo 5

Agora, para cada x fixo em [-6,6], determinar o intervalo de y que pertence à região. Para isso utilizamos as inversas encontradas no Passo 2:
  • De C_1 obtemos o limite inferior em y (ramo positivo):
    y_{C_1}(x)=\sqrt{\dfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)}.
    Observação: y_{C_1}(x) é crescente com |x| e em x=0 y=\sqrt{10}.
  • De C_2 obtemos a outra curva:
    y_{C_2}(x)=\dfrac{5}{2}\sqrt{16-x^{2}},
    válida apenas quando 16-x^{2}\ge 0, isto é, para |x|\le 4. Para |x|>4 essa fórmula não é real (essa curva não existe radialmente para |x|>4).
Comparando y_{C_1}(x) e y_{C_2}(x), o ponto onde elas se cruzam em termos de x obtemos igualando essas duas expressões (já fizemos isso implicitamente quando encontramos y_{0}). Fazendo equivalência via x obtemos, após redução, o valor crítico
x_{\text{crit}}=\sqrt{\frac{72}{7}}.
Numérico: x_{\text{crit}}\approx 3{,}206. Para |x|\le x_{\text{crit}} tem-se y_{C_1}(x)\le y_{C_2}(x) e, para x_{\text{crit}}\le |x|\le6 tem-se y_{C_1}(x)\ge y_{C_2}(x) (quando y_{C_2} existir; para |x|>4 só existe y_{C_1} e o teto de y é 10).
Portanto, escrevendo os limites em y (para cada x fixo), é conveniente separar em dois casos:
  • Para |x|\le x_{\text{crit}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}:
    y\in\Bigl[\,\sqrt{\dfrac{5}{2}(x^{2}+4)}\,,\;\dfrac{5}{2}\sqrt{16-x^{2}}\,\Bigr].
    (aqui y varia entre C_1 e C_2.)
  • Para x_{\text{crit}}\le |x|\le 6:
    y\in\Bigl[\,\sqrt{\dfrac{5}{2}(x^{2}+4)}\,,\;10\,\Bigr].
    (aqui C_2 não dá o teto da região — o teto é a reta y=10.)
Isso dá uma descrição completa da região para integração com x externo (pode-se então escrever I=\int_{-6}^{6}\!\big(\cdots\big)\,dx com o integrando dividido conforme os dois trechos acima).

Passo 6

Passagem para coordenadas polares. Primeiro, escrevemos as duas curvas em polares ( x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta).
Curva C_1:
r^{2}\cos^{2}\theta=\frac{2}{5}r^{2}\sin^{2}\theta-4 \quad\Rightarrow\quad r^{2}\big(\cos^{2}\theta-\tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta\big)=-4.
Isolando r^{2}:
r^{2}=\dfrac{20}{2\sin^{2}\theta-5\cos^{2}\theta}.
Assim
r_{C_1}(\theta)=\sqrt{\dfrac{20}{\,2\sin^{2}\theta-5\cos^{2}\theta\,}}\qquad \text{(onde o denominador é positivo, isto é, para os }\theta\text{ com curva real).}éé
Curva C_2:
r^{2}\cos^{2}\theta=16-\frac{4}{25}r^{2}\sin^{2}\theta \quad\Rightarrow\quad r^{2}\big(\cos^{2}\theta+\tfrac{4}{25}\sin^{2}\theta\big)=16,
logo
r^{2}=\dfrac{400}{25\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta},
e
r_{C_2}(\theta)=\sqrt{\dfrac{400}{\,25\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta\,}}.
As retas horizontais y=\sqrt{10} e y=10 viram
r=\dfrac{\sqrt{10}}{\sin\theta}\quad\text{e}\quad r=\dfrac{10}{\sin\theta},
respectivamente.

Passo 7

Determinar o intervalo em \theta ao usar simetria “em duas vezes” (isto é, trabalhar apenas no semiplano direito x\ge 0 e multiplicar por 2). Para a metade direita do domínio (onde x\ge 0) a menor ângulo que atinge a região é o ângulo da reta que passa pelo ponto de interseção entre y=\sqrt{10} e C_2. Naquele ponto temos (ver cálculo do Passo 5) x^{2}=\dfrac{72}{5} e y=\sqrt{10}, portanto
\tan\theta_{\min}=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{72/5}}=\frac{\sqrt{10}}{\tfrac{6\sqrt{10}}{5}}=\frac{5}{6}.
Logo para a metade direita tomamos
\theta\in\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)\,,\;\tfrac{\pi}{2}\Bigr].
(Assim, integrando em \theta de \arctan(5/6) até \pi/2 e multiplicando por 2 cobrimos toda a região simétrica.)
Para cada \theta nesta faixa, o raio r vai do valor onde a reta intersecta y=\sqrt{10} (entrada na região) até a curva C_2 (saída radial mais próxima), ou seja:
r\in\Bigl[\dfrac{\sqrt{10}}{\sin\theta}\;,\;\sqrt{\dfrac{400}{\,25\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta\,}}\Bigr].
(Essa é a descrição para a metade direita; ao multiplicar por 2 obtém-se a integral sobre toda a região.)

Resposta

a i) [x\in\bigl[-6,;6\bigr].)
a ii) Para cada x fixo:
\begin{cases} y\in\displaystyle\Bigl[\,\sqrt{\dfrac{5}{2}(x^{2}+4)}\;,\;\dfrac{5}{2}\sqrt{16-x^{2}}\,\Bigr], & \text{se }|x|\le\sqrt{\dfrac{72}{7}},\\[8pt] y\in\displaystyle\Bigl[\,\sqrt{\dfrac{5}{2}(x^{2}+4)}\;,\;10\,\Bigr], & \text{se }\sqrt{\dfrac{72}{7}}\le|x|\le 6. \end{cases}
b i) \theta\in\displaystyle\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr),\;\tfrac{\pi}{2}\Bigr]\] (usar simetria e multiplicar por \(2).
b ii) r\in\displaystyle\Bigl[\dfrac{\sqrt{10}}{\sin\theta}\;,\;\sqrt{\dfrac{400}{\,25\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta\,}}\Bigr].]

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