Considere a expressão integral I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{125}{\sqrt{14}}} \int_{-\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}}^{\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}} f(x, y) d x d y+\int_{\frac{125}{\sqrt{14}}}^{10} \int_{-\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}}^{\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}} f(x, y) d x d y,
a) Tomando x como variável independente, a expressão I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) x \in[ □ , □ ].
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].
As pedido, vamos reescrever essa soma como UMA única integral dupla com integração em ordem dx\,dy trocada para tomar x como variável independente (isto é, fazer a integral com a variável externa sendo x), e depois escrever a mesma região em coordenadas polares usando simetria (fazer metade da região em \theta e multiplicar por 2).
Informações dadas (retiradas do enunciado):
Existem duas curvas que delimitam a região, dadas implicitamente porx=\pm\sqrt{\frac{2}{5}y^{2}-4}\qquad\text{e}\qquad x=\pm\sqrt{16-\frac{4y^{2}}{25}}.
O intervalo vertical total em y vai de y=\sqrt{10} até y=10 (a partir das extremidades das integrais dadas).
A região é simétrica em relação ao eixo y (os limites em x são simétricos).
O que o exercício pede:
a) Reescrever a integral com x como variável independente: identificar o intervalo de x e, para cada x, os limites em y (isto pode envolver uma expressão em partes).
b) Passar para coordenadas polares e, usando simetria (fazer metade e multiplicar por 2), indicar os limites em \theta e em r para a metade considerada.
Passo 2
Entender as curvas explicitamente e encontrar pontos-chave (zeros, interseção das curvas, extremos em x).
Escrevendo as duas curvas em forma conveniente:
Curva 1 (vou chamar C_1): \;x^{2}=\dfrac{2}{5}y^{2}-4.
Invertendo para y (ramo positivo, pois y>0 no enunciado):y=\sqrt{\dfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)}.
Curva 2 (chamar C_2): \;x^{2}=16-\dfrac{4}{25}y^{2}.
Invertendo para y (ramo positivo):y=\dfrac{5}{2}\sqrt{16-x^{2}}.
Pontos relevantes:
Em y=\sqrt{10}, pela C_1 temos x=0 (porque \dfrac{2}{5}(\sqrt{10})^{2}-4= \dfrac{2}{5}\cdot10-4=0).
Em y=10, pela C_1 temos x^{2}=\dfrac{2}{5}\cdot100-4=40-4=36\Rightarrow x=\pm6. Logo o alcance máximo em x vale |x|=6.
Portanto já vemos que a projeção da região no eixo x é contida em [-6,6].
Passo 3
Determinar o(s) ponto(s) de interseção das duas curvas (para saber onde trocar fórmula de limite horizontal).
Este y_{0} é o valor onde as duas funções de x (as duas abscissas simétricas) se tornam iguais; para y<y_{0} uma das curvas dá a extremidade horizontal maior, e para y>y_{0} a outra é a maior. (Usarei este y_{0} para organizar as regiões se necessário.)
Passo 4
Encontrar o intervalo total de x (limite externo quando tomamos x como independente).
Como visto no Passo 2, a maior extensão horizontal ocorre em y=10 e dá |x|_{\max}=6. Como a região é simétrica, a projeção total em x é
x\in[-6,6].
Passo 5
Agora, para cada x fixo em [-6,6], determinar o intervalo de y que pertence à região. Para isso utilizamos as inversas encontradas no Passo 2:
De C_1 obtemos o limite inferior em y (ramo positivo):
y_{C_1}(x)=\sqrt{\dfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)}.
Observação: y_{C_1}(x) é crescente com |x| e em x=0 dá y=\sqrt{10}.
De C_2 obtemos a outra curva:
y_{C_2}(x)=\dfrac{5}{2}\sqrt{16-x^{2}},
válida apenas quando 16-x^{2}\ge 0, isto é, para |x|\le 4. Para |x|>4 essa fórmula não é real (essa curva não existe radialmente para |x|>4).
Comparando y_{C_1}(x) e y_{C_2}(x), o ponto onde elas se cruzam em termos de x obtemos igualando essas duas expressões (já fizemos isso implicitamente quando encontramos y_{0}). Fazendo equivalência via x obtemos, após redução, o valor crítico
x_{\text{crit}}=\sqrt{\frac{72}{7}}.
Numérico: x_{\text{crit}}\approx 3{,}206. Para |x|\le x_{\text{crit}} tem-se y_{C_1}(x)\le y_{C_2}(x) e, para x_{\text{crit}}\le |x|\le6 tem-se y_{C_1}(x)\ge y_{C_2}(x) (quando y_{C_2} existir; para |x|>4 só existe y_{C_1} e o teto de y é 10).
Portanto, escrevendo os limites em y (para cada x fixo), é conveniente separar em dois casos:
(aqui C_2 não dá o teto da região — o teto é a reta y=10.)
Isso dá uma descrição completa da região para integração com x externo (pode-se então escrever I=\int_{-6}^{6}\!\big(\cdots\big)\,dx com o integrando dividido conforme os dois trechos acima).
Passo 6
Passagem para coordenadas polares. Primeiro, escrevemos as duas curvas em polares (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta).
r_{C_1}(\theta)=\sqrt{\dfrac{20}{\,2\sin^{2}\theta-5\cos^{2}\theta\,}}\qquad \text{(onde o denominador é positivo, isto é, para os }\theta\text{ com curva real).}
Determinar o intervalo em \theta ao usar simetria “em duas vezes” (isto é, trabalhar apenas no semiplano direito x\ge 0 e multiplicar por 2). Para a metade direita do domínio (onde x\ge 0) a menor ângulo que atinge a região é o ângulo da reta que passa pelo ponto de interseção entre y=\sqrt{10} e C_2. Naquele ponto temos (ver cálculo do Passo 5) x^{2}=\dfrac{72}{5} e y=\sqrt{10}, portanto
(Assim, integrando em \theta de \arctan(5/6) até \pi/2 e multiplicando por 2 cobrimos toda a região simétrica.)
Para cada \theta nesta faixa, o raio r vai do valor onde a reta intersecta y=\sqrt{10} (entrada na região) até a curva C_2 (saída radial mais próxima), ou seja: